基于通用生成函數(shù)的混流制造系統(tǒng)脆弱性評價方法

高貴兵 岳文輝 歐文初

湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湘潭，411201

0 引言

制造系統(tǒng)的脆弱性是指某個設(shè)備、程序或子系統(tǒng)在設(shè)計、生產(chǎn)或編碼時產(chǎn)生錯誤或缺陷，當(dāng)它們受到特定攻擊和威脅時，導(dǎo)致的系統(tǒng)整體性能下降或損失［1］。在軟件方面，制造系統(tǒng)的脆弱性可能來自編碼產(chǎn)生的錯誤、業(yè)務(wù)流程與邏輯設(shè)計的缺陷或系統(tǒng)交互設(shè)計的不合理等［2］；硬件方面，制造系統(tǒng)的脆弱性主要來自于設(shè)備的安全隱患、故障以及設(shè)計缺陷等，如芯片設(shè)計存在問題［3］。這些問題都有可能被人有意或無意利用，影響甚至破壞系統(tǒng)性能，危及系統(tǒng)的健康與安全。

現(xiàn)有的復(fù)雜系統(tǒng)脆弱性分析評估方法如下：①經(jīng)驗分析法利用過去已經(jīng)發(fā)生過的事故報告和數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)的脆弱性，識別系統(tǒng)的高頻故障和失效模式，提供有效的風(fēng)險防范策略，降低風(fēng)險的危害［4-5］；②基于 Agent的方法用 Agent表示復(fù)雜系統(tǒng)的組成部分，建立一系列相關(guān)規(guī)則以描述Agent的行為和相互關(guān)系，獲取系統(tǒng)在干擾、故障行為下的性能反應(yīng)，并仿真分析系統(tǒng)在模擬干擾場景下的脆弱性和脆弱性消減策略的效果［6-7］；③基于網(wǎng)絡(luò)的方法通過建立復(fù)雜系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)模型，利用網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦宰R別系統(tǒng)的脆弱部分，從拓?fù)鋵哟紊咸峁┫到y(tǒng)脆弱性消減策略［8-9］；④基于系統(tǒng)動態(tài)特性的方法利用系統(tǒng)支路、主線的反饋和流程建立復(fù)雜系統(tǒng)在干擾場景下的動態(tài)演化模型，以此分析各種脆弱性影響因素對系統(tǒng)脆弱性的影響［10-11］。上述脆弱性分析評價方法的對象是電力、交通、工業(yè)鏈網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)、金融系統(tǒng)等，這些對象的運(yùn)行機(jī)理與制造系統(tǒng)存在本質(zhì)區(qū)別，因此上述已有的分析評價方法并不適用于制造系統(tǒng)的脆弱性分析評價。

關(guān)于制造系統(tǒng)脆弱的研究，CHEMINOD等［12］指出生產(chǎn)系統(tǒng)受到各種內(nèi)外因素的影響會引起系統(tǒng)效能中斷或瓦解，導(dǎo)致整個生產(chǎn)網(wǎng)絡(luò)變得越發(fā)脆弱，但沒有考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對脆弱性的影響，且沒有給出效能損失的量化評價標(biāo)準(zhǔn)；KóCZA等［13］建立了分析生產(chǎn)系統(tǒng)脆弱性的可靠性集成分析系統(tǒng)（integrated reliability analysis system，IRAS）平臺，但該平臺只將脆弱性作為可靠性的一個影響因素，沒有分析脆弱性的具體成因和構(gòu)成因素；高貴兵等［14］基于狀態(tài)熵的方法建立了制造系統(tǒng)的脆弱性評估方法，但這種方法在面對多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)組合爆炸問題時求解困難。

針對現(xiàn)有制造系統(tǒng)脆弱性問題研究的不足，本文利用通用生成函數(shù)對其脆弱性進(jìn)行分析評價。

1 相關(guān)理論

1.1 信息熵

基于Shannon對熵的定義，隨機(jī)離散型變量X=(x1,x2,…,xn)的信息熵定義如下：

式中，p(xi)為xi發(fā)生的概率；n為變量X包含的變量數(shù)目。

如果X是某個系統(tǒng)，則信息熵H(X)表征該系統(tǒng)的總體信息測度，其值越大，系統(tǒng)存在的不確定性越大。

1.2 通用生成函數(shù)

通用生成函數(shù)［15］（universal generating function，UGF）定義如下：對于任意M個離散型隨機(jī)變量 X1,X2,…,XM，設(shè) Xi中xi,ji(ji=1,2,…,ki)發(fā)生的概率為pi,ji，則隨機(jī)變量Xi的通用生成函數(shù)ui定義為實(shí)變數(shù)z的實(shí)函數(shù)，即

對于包含M個離散型變量的函數(shù)g(X1,X2,…,XM)，則有

式中，?f為與函數(shù)g的特性有關(guān)的復(fù)合算子。由此，通用生成函數(shù)將離散數(shù)列間的組合關(guān)系轉(zhuǎn)換成冪級數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系，結(jié)合式（2）、式（3），系統(tǒng)的通用生成函數(shù)可表示為

2 混流制造系統(tǒng)脆弱性建模與分析

2.1 混流制造系統(tǒng)脆弱性問題分析與假設(shè)

混流制造系統(tǒng)脆弱性既與自身的結(jié)構(gòu)、功能特性有關(guān)，也與外界風(fēng)險和干擾的種類、大小、強(qiáng)度等有關(guān)。為準(zhǔn)確描述其脆弱性，提出以下假設(shè)作為脆弱性建模與評價的依據(jù)：①系統(tǒng)的各設(shè)備、單元受到各種干擾引起的故障均可以及時修理，且修復(fù)好的設(shè)備、單元立即恢復(fù)到穩(wěn)定工作狀態(tài)；②系統(tǒng)受到的各種干擾對各單元、設(shè)備的影響相同，任何單元遇到故障和擾動均可能降級運(yùn)行，且單元降級運(yùn)行時系統(tǒng)不會發(fā)生故障，只有所有單元故障才導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰；③系統(tǒng)內(nèi)的緩沖區(qū)不受干擾影響，容量足夠大，首尾單元不存在饑餓和阻塞；④系統(tǒng)內(nèi)各單元相互獨(dú)立。

2.2 基于馬爾可夫鏈的制造單元脆弱性分析

假設(shè)制造單元Mi存在正常工作狀態(tài)、完全故障和降級運(yùn)行等m種狀態(tài)，設(shè)狀態(tài)1為正常狀態(tài)，…，m-1為降級運(yùn)行狀態(tài)，m為崩潰狀態(tài)。正常工作的概率服從指數(shù)分布1-e-λmit，故障后修復(fù)的時間服從指數(shù)分布1-e-μmit,其中，λmi和μmi分別表示制造單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度，λmi，μmi＞0，i=1，2，…，n。所有隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則制造單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見圖1。

制造單元的多狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程可用微分方程組表示：

圖1 制造單元狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 The state transition diagram of manufacturing unit

假設(shè)t=0時刻制造單元處于最佳工作狀態(tài)1，則方程式的初始條件為p1(0)=1，p2(0)=0，…,pm(0)=0。為求得制造單元的穩(wěn)態(tài)解，可令式（1）的左邊為0，則式（5）簡化為

求式（6），可得到制造單元任意狀態(tài)的概率。

定義1 脆性熵 定義制造單元Mi的脆性熵為單元遭遇干擾、破壞時的脆弱性熵值，用His表示，用以對制造單元在脆弱狀態(tài)下的無序度進(jìn)行測度，其中s定義為制造單元Mi所處的狀態(tài)，則

由His的定義可知，His與Mi的脆弱性狀態(tài)有關(guān)，正常狀態(tài)的脆性熵取值最小，但都大于0。

定義2 制造單元脆弱性 制造單元脆弱性為單元Mi遭遇風(fēng)險、故障時的脆弱性程度，用Vi表示，用以衡量制造單元遭到干擾和破壞的程度，脆弱性的表達(dá)式如下：

其中,Hi1和Hi2為脆性熵的兩個臨界點(diǎn)，Hi1表示Mi脫離正常運(yùn)行范圍時的脆性熵，Hi2表示Mi完全故障時的脆性熵，基于脆性熵的定義可得

由單元脆弱性定義可知，0≤Vi≤1，當(dāng)Vi=0時,Mi正常工作，Vi=1時，Mi完全故障。0＜Vi＜1時，Mi處于脆弱狀態(tài)，喪失部分功能。

2.3 緩沖區(qū)影響分析

假設(shè)系統(tǒng)中存在B（B＜n,n為制造單元數(shù)）個緩沖區(qū)，緩沖區(qū)Bb(b=1,2,…,B)的容量為bb，緩沖區(qū)的狀態(tài)雖然有bb+1種，但影響系統(tǒng)脆弱性狀態(tài)的只有全滿（S1）或全空（S2）兩種，緩沖區(qū)的有空位和庫存狀態(tài)（正常狀態(tài)S0）對系統(tǒng)運(yùn)行不產(chǎn)生影響，因此，在脆弱性分析時只需考慮上述3種狀態(tài)。設(shè)緩沖區(qū)前后制造單元為Mi和Mi+1，對應(yīng)的生產(chǎn)率分別為ωb和ωb+1。在全滿狀態(tài)下，當(dāng)ωb＞ωb+1時，Mi會發(fā)生阻塞，ωb≤ ωb+1時，Mi正常工作；在全空狀態(tài)下，當(dāng)ωb＞ωb+1時，系統(tǒng)正常，當(dāng)ωb≤ ωb+1時，Mi+1饑餓。

設(shè)緩沖區(qū)全滿和全空以及不滿不空的概率分別為 PMBb、PKBb和PBb，建立緩沖區(qū)Bb的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程［16］，得到緩沖區(qū)Bb全滿、全空以及正常工作（不滿不空）的概率如下：

則緩沖區(qū)的通用生產(chǎn)函數(shù)可表示為

2.4 基于通用生成函數(shù)的制造系統(tǒng)脆弱性分析

基于通用生成函數(shù)原理與制造單元狀態(tài)分析結(jié)果，根據(jù)式（6）求出制造單元的各種脆弱性狀態(tài)的發(fā)生概率，則制造單元的通用生成函數(shù)可表示為制造單元為脆弱性狀態(tài)si時對應(yīng)的概率。

對于包含有n個制造單元Mi(i=1,2,…,n)和B個緩沖區(qū)Bb（b=1,2,…,B）的混流制造系統(tǒng)，可以將系統(tǒng)分解為獨(dú)立的并聯(lián)和串聯(lián)制造子系統(tǒng)，然后與緩沖區(qū)串聯(lián)得到等效制造系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上遞推分解，利用如下串并聯(lián)子系統(tǒng)的通用生成函數(shù)運(yùn)算算子即可求出系統(tǒng)的通用生成函數(shù)。

兩個串聯(lián)的制造單元Mi、Mj的通用生成函數(shù)運(yùn)算算子為

兩個并聯(lián)的制造單元Mi、Mj的通用生成函數(shù)運(yùn)算算子為

包含n個制造單元和B個緩沖區(qū)的混流系統(tǒng)對應(yīng)的生成函數(shù)為

式中，μMi(z)、μBi(z)分別為制造單元Mi和緩沖區(qū)Bi的生成函數(shù)；mi、bi分別為制造單元Mi和緩沖區(qū)Bi的狀態(tài)數(shù)目；pmnj為制造單元Mn在狀態(tài)smnj時的概率；pbbh為緩沖區(qū)Bb在狀態(tài)SBbh時的概率；f為系統(tǒng)制造單元、緩沖區(qū)之間的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)，根據(jù)串并聯(lián)關(guān)系取相應(yīng)的算子。

式中,s為制造系統(tǒng)在任意t時刻所處的狀態(tài)，s∈S；S為系統(tǒng)所有的狀態(tài)集合；ps(gs)為系統(tǒng)處于脆弱狀態(tài)s的概率；gs、gω分別為系統(tǒng)脆弱狀態(tài)和正常工作狀態(tài)下的產(chǎn)出。

定義3 制造系統(tǒng)脆弱性 制造系統(tǒng)脆弱性定義為制造系統(tǒng)MS遭遇風(fēng)險、故障時的脆弱性程度，用VS表示，用以衡量系統(tǒng)受到干擾和破壞的程度，其表達(dá)式如下

式中,Hs為MS在任意狀態(tài)s下的脆性熵；Hs1為MS脫離正常運(yùn)行范圍時的脆性熵；Hs2為MS完全故障時的脆性熵。

基于脆性熵的定義可得

由式（16）可得

3 算例分析

某混流制造系統(tǒng)如圖2所示，由8個制造單元和4個緩沖區(qū)構(gòu)成，每個制造單元均存在正常工作、降級運(yùn)行和完全故障等不同的狀態(tài)，緩沖區(qū)容量 B1=20，B2=30，B3=30，B4=20。各制造單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見圖3，各單元狀態(tài)轉(zhuǎn)移的λ、μ取值見表1，各單元在不同狀態(tài)下的生產(chǎn)率見表2。

圖2 混流制造系統(tǒng)示例Fig.2 The example of FMS

圖3 各制造單元狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.3 State transition diagram of different manufacturing units

表1 各制造單元狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度λ、μ的取值表Tab.1 Theλ，μ value of different manufacturing units

表2 各單元各狀態(tài)下的生產(chǎn)率Tab.2 The productivity of each unit in different state件/h

3.1 制造單元脆弱性計算與分析

在正常生產(chǎn)狀態(tài)下，令pij表示制造單元Mi（i=1，2，…，8）在狀態(tài)j的概率，根據(jù)式（2）可得各制造單元的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方程組：

將狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度λ、μ的值代入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得到各制造單元不同狀態(tài)的理論概率值：

根據(jù)求得的各單元狀態(tài)的概率，利用式（2）求得M1～M8的發(fā)生函數(shù)：

根據(jù)式（7）計算各單元在故障時的脆性熵值（bit）,結(jié)果如下：計算結(jié)果可以看出，8個制造單元中脆弱性熵值最小的是 HM1、HM3，最大的是 HM4、HM5和HM8，其中 M1和M3的狀態(tài)數(shù)為3，而M4、M5和M8的狀態(tài)數(shù)為 6，說明單元的狀態(tài)數(shù)多時，其對應(yīng)的脆弱性熵值較大。基于熵理論，單元的熵值越大，其存在的不確定性越大，遇到故障、風(fēng)險時對系統(tǒng)產(chǎn)生的危害也就越大。

3.2 制造系統(tǒng)脆弱性分析

M1、M2、M3三個單元和M6、M7為并聯(lián)，其余與緩沖區(qū)串聯(lián)，利用式（14）所示并聯(lián)算子，求得M1、M2、M3的通用生成函數(shù)(z)和 M6、M7的通用生成函數(shù)(z)如下：

緩沖區(qū)不會發(fā)生故障、不生產(chǎn)或加工產(chǎn)品，因此正常工作狀態(tài)下其生產(chǎn)率都可以看作是生產(chǎn)線的生產(chǎn)率，即該生產(chǎn)線的產(chǎn)量為57件/h，堵塞或饑餓時的生產(chǎn)率為0。根據(jù)緩沖區(qū)不同狀態(tài)的概率，可得緩沖區(qū)B1、B2、B3、B4的生成函數(shù)：

這樣，原系統(tǒng)等效為M′1與M4、M5、M′6、M8以及緩沖區(qū)一起組成的串聯(lián)系統(tǒng)，利用式（13）的串聯(lián)復(fù)合算子和式（15）計算得到整個系統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)：

根據(jù)式（9）、式（10），計算系統(tǒng)的臨界脆性熵值，然后得到系統(tǒng)任意狀態(tài)下的脆弱性VS：

3.3 脆弱性結(jié)果對比分析

圖4 U函數(shù)法與狀態(tài)熵分析法的系統(tǒng)脆弱性對比圖Fig.4 Comparison of system vulnerability between U-function method and state entropy analysis

表3 兩種方法的典型輸出狀態(tài)下的脆弱性偏差對比Tab.3 Comparisons of vulnerability deviation for two methods in typical states

由式（21）和式（23）系統(tǒng)脆性熵和脆弱性計算公式，得到以系統(tǒng)狀態(tài)為變量的系統(tǒng)脆弱性變化曲線，系統(tǒng)脆弱性的平均值VS=0.503 3，與基于系統(tǒng)狀態(tài)熵的脆弱性分析方法［15］的計算結(jié)果進(jìn)行對比，見圖4，兩種方法所得的結(jié)果基本一致。幾種典型輸出狀態(tài)下的結(jié)果對比見表3，兩種方法計算所得到的系統(tǒng)脆弱性結(jié)果的最大偏差為7.56%，說明通用生成函數(shù)法可以較好地用于多狀態(tài)系統(tǒng)的脆弱性分析。此外，從該實(shí)例可知，如果采用狀態(tài)熵方法，8個制造單元總共有3×6×6×6×3×5×5×4=194 400多種狀態(tài)需要分析計算，而采用通用生成函數(shù)法，則只有21種，由此可見，通用生成函數(shù)法顯著減小了狀態(tài)空間的規(guī)模，提高了脆弱性求解的效率。

3.4 緩沖區(qū)對系統(tǒng)脆弱性的影響

如果不考慮緩沖區(qū)狀態(tài)對制造單元的影響，即中間緩沖區(qū)容量無限大時，系統(tǒng)的發(fā)生函數(shù)

由式（17）、式（21）、式（22）得到不考慮緩沖區(qū)時的系統(tǒng)脆弱性

根據(jù)系統(tǒng)通用生成函數(shù)模型，計算得到不同狀態(tài)下系統(tǒng)脆弱性的平均值=0.605 2，與考慮緩沖區(qū)影響的系統(tǒng)脆弱性比較，其差異率

由此可以看出，不考慮緩沖區(qū)狀態(tài)影響的情況下，系統(tǒng)的脆弱性比考慮緩沖區(qū)影響的情況下大16.84%，即中間緩沖區(qū)的設(shè)置減少了系統(tǒng)的脆弱性，增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但同時，緩沖區(qū)的增加會增加系統(tǒng)的復(fù)雜性，使得控制系統(tǒng)更加復(fù)雜。

4 結(jié)論

（1）基于狀態(tài)熵的制造系統(tǒng)脆弱性評估方法，在面對多狀態(tài)制造系統(tǒng)的組合爆炸問題時，分析計算復(fù)雜，導(dǎo)致其實(shí)用性受到很大影響。針對狀態(tài)組合爆炸情況下狀態(tài)熵方法難以求解系統(tǒng)脆弱性的問題，在分析系統(tǒng)內(nèi)各單元、子系統(tǒng)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，提出基于通用生成函數(shù)的脆弱性分析方法。

（2）通過制造單元狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，求解各單元在不同狀態(tài)下的概率，建立單元的通用發(fā)生函數(shù)，然后利用串聯(lián)、并聯(lián)的通用生成函數(shù)構(gòu)造算子，得到整個系統(tǒng)的通用生成函數(shù)模型，并以此為基礎(chǔ)，基于信息熵原理，定義制造系統(tǒng)的臨界脆性熵，建立系統(tǒng)的脆弱性評價模型。

（3）以某混流制造系統(tǒng)為例，采用所提出的基于通用生成函數(shù)的脆弱性評價計算方法，計算得到系統(tǒng)的脆弱性評價指標(biāo)數(shù)值，分析了制造單元脆弱性與其狀態(tài)之間的相關(guān)性，通過與狀態(tài)熵方法的計算結(jié)果對比，證明該方法在保證計算結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上可以顯著提高計算的效率，提高了脆弱性評價的實(shí)際應(yīng)用。