從一道原創題的磨制中思考全國一卷

黃金波

摘 要：文章將全國一卷與福建省（以下簡稱我省）自主命題卷進行了比較分析，闡述了各自的優缺點，倡議全國一卷模式應做適當的變革，以利于高考更好地發揮選拔功能，指導一線教師的教學工作，文章通過一道概率與數列交匯題的磨制來佐證變革的必要性和意義。

關鍵詞：改革；磨制；全國一卷

一、對全國一卷與我省自主命題的簡析和比較

我省高考采用全國一卷已經兩年了，從中我們發現全國一卷比福建省自主命題卷難，也有很多特點，其中最顯著的特點就是“定式”多，比如：集合、復數、算法、三視圖、二項式定理和線性規劃必考一題，其中復數固定在選擇題前面，不會太難；解答題第17題兩年考數列、兩年考解三角，如果考數列，小題數列只有一題，而三角必考三題（恒等變換、圖像與性質和解三角形各一題），反之則小題數列兩題，而三角必考兩題（恒等變換、圖像與性質各一題）；解析幾何大題兩大一小，大題經常考橢圓，拋物線時而“客串”；概率與統計一大一小等，其中大題以考查統計為主、概率為輔。發現這些“定式”，我們就逐漸地摸清了它的脾氣，“順著”它，它就不會太“虧待”我們。我省以前的自主命題卷，各個知識點在試卷中的位置不固定，復數有可能成為小題壓軸題，立體幾何也有可能成為大題壓軸題。

隨著計算機的飛速發展和廣泛應用，大數據已經是這個時代的主題，利用統計法對數據進行分析處理是我們必須掌握的一項技能，但是，處理數據的方法不是只有統計這一種方法，還可以用傳統的數學工具進行分析處理。

基于以上幾點考慮，我就想命制一道能利用數列工具解決生活實際的概率題，而且這樣的試題更貼近學生的日常生活。

二、磨制過程

1.取材

原題是2011年5月莆田市高中畢業班質量檢查（理科）第16題：隨機變量X的分布列如下表所示，若數列{Pn}是以P1為首項，以q為公比的等比數列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為Q（P1，q）。現隨機變量X∽Q（—，2）。

（1）求n 的值并求隨機變量X的數學期望E（X）；

（2）一個盒子里裝有標號為1，2，…，n且質地相同的標簽若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X。現又放回，從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標簽的標號不大于3的概率。

2.設計過程

該原型題有別于過去的數列概率交匯題，以往的這類交匯題大多輕數列重概率，或者輕概率重數列。該原型題很好地解決了以上不足，可是它也犯了過去題型的通病，就是兩個知識點交匯的不夠自然，特別是第二小題中的標號n與隨機變量X脫節，而且情景很僵硬。

第一次磨制：

①簡化題干。讓學生更易理解什么是等比分布，并且為了方便概率題的命制，將X的取值改為0，1，2，…，n-1。

②原型題的第一小題本打算考查錯位相減法，但是由于首項、公比、項數的數據小，考生可以回避錯位相減法。數列的重要知識與方法沒得到考查，沒辦法體現數列應有的地位。因此，第一小題直接設計為：

（Ⅰ）求隨機變量X的數學期望E（X）。

③對于第二小題，本人選取了當代高中生最為熟悉的一項運動——籃球作為概率題的情景。初步設計為：

（Ⅱ）在某體育直播室轉播某籃球職業聯賽的過程中，用一個六位數的電子示數器抽取幸運觀眾，示數器上的六個數字都是由服從等比分布的隨機變量 X隨機生成的，該隨機變量X∽Q（—，2），主持人通過示數器隨機抽取一個六位數，如果該六位數與互動觀眾的手機號碼的最后六位數一致，則該觀眾被選為幸運觀眾，可獲得某球星戰靴。求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰靴的概率。

第二次磨制：

①在確定第一小題的答案時發現，用錯位相減法求E（X）時，要對公比q進行分類討論，而且計算量相當大。雖然分類討論也是一個重要思想，要考查也不為過，但是由于這僅僅是第一小題，題目的切入點不能拔得太高，否則難度與第二小題對比會有頭重腳輕的感覺。因此將第一小題改為：

（Ⅰ）若隨機變量X∽Q（p1，2），求隨機變量X的數學期望E（X）。

②我又發現兩個小題聯系不大，而且要讓考生真正理解隨機變量X，然后去求n，再找出n的取值是1，2，3，…，9，難度特別大，因此將第二小題拆成兩個小題，這樣既降低了難度，又增加了與第一小題的連續性和過渡性。讓考生更易理解隨機變量X 與六位數的關系。設計如下：

（Ⅱ）若隨機變量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅲ）在某體育直播室轉播某籃球職業聯賽的過程中，用一個六位數的電子示數器抽取幸運觀眾，示數器上的六個數字都是由條件（Ⅱ）的隨機變量 X 隨機生成的，主持人通過示數器隨機抽取一個六位數，如果該六位數與互動觀眾的手機號碼的最后六位數一致，則該觀眾被選為幸運觀眾，可獲得某球星戰靴。求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰靴的概率。

第三次磨制：在研讀題目后發現，最后一問沒辦法體現概率解決實際問題的功能，因此又添了一個問題：有人懷疑該示數器被做了手腳，你認為呢？請說明理由。這樣既考查了考生的探究能力，又考查了考生的情感態度與價值觀，更加符合課改精神。

第四次磨制：為了使題目的情景更加嚴謹，經過多次研讀和揣摩，決定添加注釋：“每次轉播只抽取一次，如果抽取的六位數和所有參與互動的觀眾的手機號碼的最后六位數不一致，那么該次轉播就沒有幸運觀眾”。

第五次磨制：經過深思發現本題層次不足，第一小題難度過大，無法送分，因此將第一與第二小題對調。

3.最終題目內容

隨機變量X的分布列如下表所示，若數列{Pn}是以P1為首項，以q為公比的等比數列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為X∽Q（P1，q）

（Ⅰ）若隨機變量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅱ）若隨機變量X∽Q（p1，2），求隨機變量X的數學期望E（X）；

（Ⅲ）在某體育直播室轉播某籃球職業聯賽的過程中，用一個六位數的電子示數器抽取幸運觀眾，示數器上的六個數字都是由條件（Ⅰ）的隨機變量X隨機生成的，主持人通過示數器隨機抽取一個六位數，如果該六位數與互動觀眾的手機號碼的最后六位數一致，則該觀眾被選為幸運觀眾（每次轉播只抽取一次，如果抽取的六位數和所有參與互動的觀眾的手機號碼最后六位數不一致，那么該次轉播就沒有幸運觀眾），可獲得某球星戰靴。①求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰靴的概率；②有人懷疑該示數器被做了手腳，你認為呢？請說明理由。

如果全國一卷能在樣式上做些改變，能更加貼近學生的生活實際，它將會越變越有趣。

參考文獻：

[1]胡耀華，楊雪艷.新課程標準下的教學高考試卷分析——以部分身份2012年數學高考試卷為例[J].考試研究，2013（5）.

[2]傅 敏，劉 燚.論現代教學教師的能力結構[J].課程·教改·教法，2005（4）.