從一道原創(chuàng)題的磨制中思考全國一卷

黃金波

摘 要：文章將全國一卷與福建省（以下簡稱我省）自主命題卷進行了比較分析，闡述了各自的優(yōu)缺點，倡議全國一卷模式應(yīng)做適當(dāng)?shù)淖兏铮岳诟呖几玫匕l(fā)揮選拔功能，指導(dǎo)一線教師的教學(xué)工作，文章通過一道概率與數(shù)列交匯題的磨制來佐證變革的必要性和意義。

關(guān)鍵詞：改革；磨制；全國一卷

一、對全國一卷與我省自主命題的簡析和比較

我省高考采用全國一卷已經(jīng)兩年了，從中我們發(fā)現(xiàn)全國一卷比福建省自主命題卷難，也有很多特點，其中最顯著的特點就是“定式”多，比如：集合、復(fù)數(shù)、算法、三視圖、二項式定理和線性規(guī)劃必考一題，其中復(fù)數(shù)固定在選擇題前面，不會太難；解答題第17題兩年考數(shù)列、兩年考解三角，如果考數(shù)列，小題數(shù)列只有一題，而三角必考三題（恒等變換、圖像與性質(zhì)和解三角形各一題），反之則小題數(shù)列兩題，而三角必考兩題（恒等變換、圖像與性質(zhì)各一題）；解析幾何大題兩大一小，大題經(jīng)常考橢圓，拋物線時而“客串”；概率與統(tǒng)計一大一小等，其中大題以考查統(tǒng)計為主、概率為輔。發(fā)現(xiàn)這些“定式”，我們就逐漸地摸清了它的脾氣，“順著”它，它就不會太“虧待”我們。我省以前的自主命題卷，各個知識點在試卷中的位置不固定，復(fù)數(shù)有可能成為小題壓軸題，立體幾何也有可能成為大題壓軸題。

隨著計算機的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，大數(shù)據(jù)已經(jīng)是這個時代的主題，利用統(tǒng)計法對數(shù)據(jù)進行分析處理是我們必須掌握的一項技能，但是，處理數(shù)據(jù)的方法不是只有統(tǒng)計這一種方法，還可以用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具進行分析處理。

基于以上幾點考慮，我就想命制一道能利用數(shù)列工具解決生活實際的概率題，而且這樣的試題更貼近學(xué)生的日常生活。

二、磨制過程

1.取材

原題是2011年5月莆田市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查（理科）第16題：隨機變量X的分布列如下表所示，若數(shù)列{Pn}是以P1為首項，以q為公比的等比數(shù)列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為Q（P1，q）。現(xiàn)隨機變量X∽Q（—，2）。

（1）求n 的值并求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）一個盒子里裝有標號為1，2，…，n且質(zhì)地相同的標簽若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X。現(xiàn)又放回，從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標簽的標號不大于3的概率。

2.設(shè)計過程

該原型題有別于過去的數(shù)列概率交匯題，以往的這類交匯題大多輕數(shù)列重概率，或者輕概率重數(shù)列。該原型題很好地解決了以上不足，可是它也犯了過去題型的通病，就是兩個知識點交匯的不夠自然，特別是第二小題中的標號n與隨機變量X脫節(jié)，而且情景很僵硬。

第一次磨制：

①簡化題干。讓學(xué)生更易理解什么是等比分布，并且為了方便概率題的命制，將X的取值改為0，1，2，…，n-1。

②原型題的第一小題本打算考查錯位相減法，但是由于首項、公比、項數(shù)的數(shù)據(jù)小，考生可以回避錯位相減法。數(shù)列的重要知識與方法沒得到考查，沒辦法體現(xiàn)數(shù)列應(yīng)有的地位。因此，第一小題直接設(shè)計為：

（Ⅰ）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）。

③對于第二小題，本人選取了當(dāng)代高中生最為熟悉的一項運動——籃球作為概率題的情景。初步設(shè)計為：

（Ⅱ）在某體育直播室轉(zhuǎn)播某籃球職業(yè)聯(lián)賽的過程中，用一個六位數(shù)的電子示數(shù)器抽取幸運觀眾，示數(shù)器上的六個數(shù)字都是由服從等比分布的隨機變量 X隨機生成的，該隨機變量X∽Q（—，2），主持人通過示數(shù)器隨機抽取一個六位數(shù)，如果該六位數(shù)與互動觀眾的手機號碼的最后六位數(shù)一致，則該觀眾被選為幸運觀眾，可獲得某球星戰(zhàn)靴。求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰(zhàn)靴的概率。

第二次磨制：

①在確定第一小題的答案時發(fā)現(xiàn)，用錯位相減法求E（X）時，要對公比q進行分類討論，而且計算量相當(dāng)大。雖然分類討論也是一個重要思想，要考查也不為過，但是由于這僅僅是第一小題，題目的切入點不能拔得太高，否則難度與第二小題對比會有頭重腳輕的感覺。因此將第一小題改為：

（Ⅰ）若隨機變量X∽Q（p1，2），求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）。

②我又發(fā)現(xiàn)兩個小題聯(lián)系不大，而且要讓考生真正理解隨機變量X，然后去求n，再找出n的取值是1，2，3，…，9，難度特別大，因此將第二小題拆成兩個小題，這樣既降低了難度，又增加了與第一小題的連續(xù)性和過渡性。讓考生更易理解隨機變量X 與六位數(shù)的關(guān)系。設(shè)計如下：

（Ⅱ）若隨機變量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅲ）在某體育直播室轉(zhuǎn)播某籃球職業(yè)聯(lián)賽的過程中，用一個六位數(shù)的電子示數(shù)器抽取幸運觀眾，示數(shù)器上的六個數(shù)字都是由條件（Ⅱ）的隨機變量 X 隨機生成的，主持人通過示數(shù)器隨機抽取一個六位數(shù)，如果該六位數(shù)與互動觀眾的手機號碼的最后六位數(shù)一致，則該觀眾被選為幸運觀眾，可獲得某球星戰(zhàn)靴。求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰(zhàn)靴的概率。

第三次磨制：在研讀題目后發(fā)現(xiàn)，最后一問沒辦法體現(xiàn)概率解決實際問題的功能，因此又添了一個問題：有人懷疑該示數(shù)器被做了手腳，你認為呢？請說明理由。這樣既考查了考生的探究能力，又考查了考生的情感態(tài)度與價值觀，更加符合課改精神。

第四次磨制：為了使題目的情景更加嚴謹，經(jīng)過多次研讀和揣摩，決定添加注釋：“每次轉(zhuǎn)播只抽取一次，如果抽取的六位數(shù)和所有參與互動的觀眾的手機號碼的最后六位數(shù)不一致，那么該次轉(zhuǎn)播就沒有幸運觀眾”。

第五次磨制：經(jīng)過深思發(fā)現(xiàn)本題層次不足，第一小題難度過大，無法送分，因此將第一與第二小題對調(diào)。

3.最終題目內(nèi)容

隨機變量X的分布列如下表所示，若數(shù)列{Pn}是以P1為首項，以q為公比的等比數(shù)列，則稱隨機變量X服從等比分布，記為X∽Q（P1，q）

（Ⅰ）若隨機變量X∽Q（—，2），求n的值；

（Ⅱ）若隨機變量X∽Q（p1，2），求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（Ⅲ）在某體育直播室轉(zhuǎn)播某籃球職業(yè)聯(lián)賽的過程中，用一個六位數(shù)的電子示數(shù)器抽取幸運觀眾，示數(shù)器上的六個數(shù)字都是由條件（Ⅰ）的隨機變量X隨機生成的，主持人通過示數(shù)器隨機抽取一個六位數(shù)，如果該六位數(shù)與互動觀眾的手機號碼的最后六位數(shù)一致，則該觀眾被選為幸運觀眾（每次轉(zhuǎn)播只抽取一次，如果抽取的六位數(shù)和所有參與互動的觀眾的手機號碼最后六位數(shù)不一致，那么該次轉(zhuǎn)播就沒有幸運觀眾），可獲得某球星戰(zhàn)靴。①求手機號碼為13XXX978111的觀眾獲得某球星戰(zhàn)靴的概率；②有人懷疑該示數(shù)器被做了手腳，你認為呢？請說明理由。

如果全國一卷能在樣式上做些改變，能更加貼近學(xué)生的生活實際，它將會越變越有趣。

參考文獻：

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