淺論近三年高考題中關(guān)于向量在平面幾何中的應(yīng)用

湯小燕 左尚昆

摘 要：通過(guò)對(duì)近三年全國(guó)及部分省份高考數(shù)學(xué)試題的討論，總結(jié)了有關(guān)向量在平面幾何中的命題特點(diǎn)和解題方法，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量有重要意義.

關(guān)鍵詞：高考；向量；思想方法

一、 引言

向量是代數(shù)與幾何的橋梁，如果能夠掌握好向量的相關(guān)知識(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用向量工具去解決相關(guān)問(wèn)題，不但能夠優(yōu)化解題思路，而且還能培養(yǎng)學(xué)生思維能力的發(fā)散性和創(chuàng)造性。所以本文就是以向量的基本知識(shí)為理論基礎(chǔ)，向量的運(yùn)算為工具，向量應(yīng)用的目的為主線，以近三年全國(guó)高考試題為例題，通過(guò)對(duì)其各地區(qū)相關(guān)高考試題的分析和研究，進(jìn)一步去了解高考試題中向量在平面幾何中題型、分值、分值比例以及所考查的知識(shí)要點(diǎn)，對(duì)相關(guān)題型的思想方法的分析，來(lái)進(jìn)一步討論近三年向量在平面幾何中的應(yīng)用。

下面就是對(duì)近三年全國(guó)各地區(qū)相關(guān)高考試題的分析及高考例題進(jìn)行分析解答和總結(jié)：2015年，重慶卷（理科），四川卷（理科），陜西卷（理科），全國(guó)新課標(biāo)卷2（文科），天津卷（理科）；2016年，全國(guó)新課標(biāo)卷3（文科），山東卷（理科），江蘇卷（理科），四川卷（理科），浙江卷（理科），山東卷（文科），全國(guó)新課標(biāo)卷2（文科）；2017年，全國(guó)新課標(biāo)卷3（文科），全國(guó)新課標(biāo)卷1（理科），山東卷（理科），天津卷（理科），全國(guó)新課標(biāo)卷2（理科）。

其中的分值比例約占3.3%，向量的平面幾何問(wèn)題在近三年全國(guó)各地的高考試卷中均有涉及，命題的主要形式是以選擇題和填空題為主，解答題占少數(shù)。雖然說(shuō)平面向量很少會(huì)以大題的形式出現(xiàn)，但是出現(xiàn)大題也不是沒(méi)有可能。從以上的分析可以看出，高考中對(duì)平面向量的考查是多方面的，通常會(huì)綜合許多知識(shí)點(diǎn)來(lái)考，比如模長(zhǎng)夾角和數(shù)量積結(jié)合考，線性運(yùn)算和數(shù)量積結(jié)合考等等，考查內(nèi)容較廣，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和觀察能力。

二、 坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題在平面幾何中的應(yīng)用

向量的坐標(biāo)運(yùn)算是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即橫坐標(biāo)對(duì)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)對(duì)縱坐標(biāo)，屬于概念型題，如2016年全國(guó)卷1理13。

三、 向量的線性運(yùn)算在平面幾何中的應(yīng)用

向量的線性運(yùn)算是向量的基礎(chǔ)部分，包括了向量的加減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算，高考試題中常出現(xiàn)的合成向量就是通過(guò)向量的線性運(yùn)算來(lái)完成的，這里要注意的是數(shù)量積并不是線性運(yùn)算，不要弄混淆了。

（一） 向量的加減運(yùn)算問(wèn)題。向量的加減運(yùn)算是線性運(yùn)算中較為普遍的一種，包含了向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算，是用代數(shù)方法進(jìn)行幾何運(yùn)算的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)加減運(yùn)算不一樣，向量的加減運(yùn)算遵循三角形法則和平行四邊形法則。如2015年全國(guó)卷1理7。

（二） 向量的數(shù)乘問(wèn)題。數(shù)乘運(yùn)算又稱向量的乘法，是指一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的乘積，即數(shù)量與向量的乘法運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果仍為向量，對(duì)求未知參數(shù)具有重要指導(dǎo)作用。如2017年天津卷理13。

四、 向量的模在平面幾何中的應(yīng)用

向量的長(zhǎng)度或者大小稱為向量的模，只有大小，沒(méi)有方向，是一個(gè)實(shí)數(shù)，一般情況下通過(guò)余弦定理或者數(shù)量積的性質(zhì)來(lái)計(jì)算處理的。如2017年全國(guó)卷1理13。

五、 向量的夾角在平面幾何中的應(yīng)用

兩個(gè)非零向量所成的角叫兩向量的夾角，這里要注意的是以平移兩個(gè)向量至同一個(gè)起點(diǎn)，向量的夾角問(wèn)題通常需要利用余弦公式cosA=|b|2+|c|2-|a|22|b||c|或公式cosθa·b|a||b|來(lái)處理。

（一） 向量的共線問(wèn)題。當(dāng)兩個(gè)非零向量同向或反向時(shí)，稱兩向量共線，也就是平行，此時(shí)它們的夾角θ=0°或180°，cosθ=1或-1。如2015年全國(guó)卷2理13。

（二） 向量的垂直問(wèn)題。向量的垂直問(wèn)題是指兩個(gè)非零向量的夾角為90°的這種特殊情形，此時(shí)夾角的余弦cosθ=0，即a·b。如2016年山東卷文13。

（三） 向量夾角的一般形式問(wèn)題。當(dāng)兩個(gè)非零向量既不共線又不垂直時(shí)，稱它們的夾角為一般形式，表示出來(lái)就是cosθ=a·b|a||b|，θ即是兩個(gè)向量的夾角。如2016年全國(guó)卷3文3。

六、 向量的數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用

數(shù)量積是指向量的內(nèi)積a·b，而不是外積a×b，數(shù)量積a·b是一個(gè)數(shù)量，即a的模|a|與b在a上的投影|b|cosθ的乘積|a||b|cosθ，數(shù)量積的求解方法有多種，最為簡(jiǎn)便直觀的就是通過(guò)觀察向量結(jié)構(gòu)，用有關(guān)向量線性表示轉(zhuǎn)化求解。如2015年四川卷理7。

七、 總結(jié)

向量作為一種重要的數(shù)學(xué)解題工具，在近三年高考里面考查較為廣泛，它的應(yīng)用為平面幾何問(wèn)題的解決提供了新的思維方法，更進(jìn)一步擴(kuò)展了思維渠道，利用向量的運(yùn)算性質(zhì)能把許多關(guān)于平面幾何問(wèn)題的研究從定性轉(zhuǎn)向定量，使論證變得簡(jiǎn)單，對(duì)平面幾何問(wèn)題的探討具有指導(dǎo)性作用。向量解題的思想方法不但活化了解題技巧，而且簡(jiǎn)化了思維過(guò)程，顯得十分新穎和別致，所以利用向量知識(shí)解題具有很多的優(yōu)越性，其中思路直觀、運(yùn)算簡(jiǎn)便是最突出的優(yōu)勢(shì)。向量把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的研究具有重要的意義，它進(jìn)一步發(fā)展和完善中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，使學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)質(zhì)的飛躍，有利于學(xué)生思維的發(fā)展，對(duì)于學(xué)生培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁晨均.向量在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用解析[J].文理導(dǎo)航，2015（32）：18.

[2]黃愛(ài)民.用向量法求解幾何綜合題[N].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002.

[3]李朝林.平面向量與平面幾何的交匯于融合[J].新課程（教育學(xué)術(shù)），2010.

[4]劉八芝.向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[N]，鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào)，2003.

[5]張鳳蓮.高中數(shù)學(xué)中向量的研究[D].華中師范大學(xué)，2007.

作者簡(jiǎn)介：

湯小燕，左尚昆，貴州省遵義市，遵義師范學(xué)院。