極限演繹，讓結構化思維走向深刻

單群貴

鄭毓信教授在《新教育哲學》中提到：“努力促進學生思維的發展是數學教育最為重要的一個目標，應當將‘思維看作全部數學教學工作的核心。”特級教師許衛兵認為：“數學知識是整體的，也是有結構的，用整體性和結構化的思維引導數學學習是一條非常重要的路徑。”所謂結構化思維，是以探尋事物結構為目標，以得出事物發展的一般規律為導向，以建構事物整體關聯為抓手的一種思維方式。結構化思維，能夠讓學生更清晰、更高效地思考，更接近事物的本質，更有效地用數學思維的方式去思考并解決生活中的實際問題。下面，筆者就以蘇教版五年級上冊“圖形面積期末復習”教學為例，談談在教學實踐中，如何對學生進行必要的結構化思維訓練。

一、讓結構化思維在知識聚焦中凸顯

在教學“圖形面積期末復習”時，教師首先呈現了幾種曾經學過的平面圖形，并讓學生回憶其面積計算公式，隨后以小組討論的形式，交流這些多邊形面積公式的推導過程，最后讓學生嘗試用學具探究各種圖形面積之間的關系：長方形的面積公式是“根”，其他圖形面積公式是“枝”，即其他圖形的面積都可以轉化成長方形的面積，從而推導出其面積計算公式。圖形面積的“知識樹”由此在學生腦海中生根發芽。整個學習過程充分關注了學生對知識系統的學習過程體驗，使教學目標得到了很好的落實。

圖1是教材第25頁的“練習與應用”的第1題，教師對這道練習題作了“個性化”的處理：先是呈現“裸圖”（無點格的圖形），讓學生說說這些圖形的面積，學生感到束手無策；隨后給出點格圖，引導學生用不同的方法比較圖形面積，尋找它們之間的關系；最后，再將研究目光聚焦到三角形上，通過幾何畫板軟件演示，拉動兩個與其同底等高的三角形，讓學生尋找面積相等的三角形，從而使其初步感知等積變形的多種可能性。

下面4個圖形的面積有什么關系？你是怎樣想的？

從以上教學片段中，我們不難發現：教師應該重視數學的本源，立足知識的整體性，尋找知識的關聯性，從小處入手，以聚焦“三角形等積變形”為抓手，關注課時知識間的前后聯系與整合，更好地梳理和構建橫向的邏輯框架，為培養學生的結構化思維提供可能。

二、讓結構化思維在動態研究中深化

當學生初步具備了“等積變形”的意識和操作能力后，教師立即將研究的目光“平移”至梯形，即同時給出三個梯形（圖2），提問：“圖中面積相等的梯形有哪些？”問題一拋出，便有少部分學生很快應答：“它們的高都是相等的，上底和下底的和也是相等的，所以它們的面積都是相等的。”教師并沒有滿足于此，而是組織學生繼續想象：“如果繼續照樣子變形下去，可能會出現什么情況？”學生反饋：“可以變出三角形、長方形、平行四邊形……”（圖3）一切皆有可能，學生的一句“學到現在，我還是第一次發現梯形的面積計算公式有這么大的威力”恰恰說明了這樣的設計是能夠助推學生的求異思維，幫助學生在運動變化的聯系中更直觀地發現一般性規律，為后續更高階段的結構化思維奠定了良好的基礎。

在以上教學環節中，教師在充分保證上底和下底之和不變的情況下，研究了梯形的動態“變形記”，得出梯形最終可能變成長方形、平行四邊形、三角形等的結論。讓學生理解了：在必須保持面積不變的情況下，要想得到不同的圖形，可以改變梯形上底和下底，上底變短了，下底就變長了，這樣就把“靜態”的學習變成了“動態”的研究，而這種由“靜”到“動”的過程，其實就是結構化思維深化的過程。

三、讓結構化思維在鞏固練習中明晰

練習是課堂教學的延續，其目的在于鞏固所學知識。練習的方式盡可能要“以少勝多”，從而達到“簡約而不簡單”的教學效果。許衛兵老師認為，真正的數學學習活動中都存在一個對所學內容進行“理解”或“消化”的過程。即只有學生能根據自己的知識和經驗對所學內容做出“解釋”，這樣的學習才有意義與價值。為此，教師在設計練習時，不妨讓學生對問題“回頭再多看一眼”，去尋找知識間存在的顯性或隱性的聯系與區別，從而更好地把握知識的本質屬性。

譬如，教師在呈現教材中“練習與應用”的第2題（圖4）時，先讓學生獨立解決問題，繼而在集體匯報交流時，殺了一個漂亮的“回馬槍”——再次將研究的目光聚焦到梯形面積公式上，即向學生提問：“既然梯形的面積公式是萬能的，那我們在計算平行四邊形以及三角形面積的時候，為什么不用梯形的面積公式呢？”這樣的“回馬槍”不僅讓學生知道，知識間是有聯系的，是相通的，用同一種方式可以解決不同的問題，從不同的角度去觀察事物，就會有不同的理解，而且便于學生掌握圖形面積之間的本質聯系，從而讓學生能全面地把握“空間與圖形”領域的知識框架結構圖。

總之，高度結構化的知識是不容易被遺忘的，即使已被遺忘，它也可以順著多種途徑被找回。為此，教師在日常教學中，要合理進行結構化教學嘗試，適時地借助極限演繹的方法，闡述“變”與“不變”的函數思想，引導學生從錯綜復雜的“變化”現象中發現知識間千絲萬縷的“聯系”與“區別”。只有這樣，學生的數學知識碎片才能夠及時、有序地納入到新的知識體系中去，從而使他們的知識結構越來越穩固，越來越豐滿，最終實現“用思維方法的分析去帶動具體知識內容”的教學愿景。

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘小學）