氫化雜質和厚度效應對高斯勢量子點中二能級體系量子躍遷的影響?

白旭芳 趙玉偉 尹洪武 額爾敦朝魯

1)(內蒙古民族大學物理與電子信息學院,通遼 028043)2)(河北科技師范學院凝聚態物理研究所,秦皇島 066004)(2018年2月19日收到;2018年5月15日收到修改稿)

1 引 言

近年來,量子點的奇特光學性質和輸運特性持續受到人們的重視,已成為材料科學和凝聚態物理中的一個熱點領域,出現了許多新的實驗研究[1?4]和理論研究[5?8]工作報道.但仍有一些有價值的課題亟待研究.1)關于量子點存在厚度的問題.不難看出,人們對量子點的理論研究大多都未考慮量子點的厚度所帶來的影響,其結果無疑是比較粗糙的.2)關于量子點限定勢的描寫.在許多研究中,單參量拋物線型限定勢阱被用來描述量子點中電子的限定勢[9?12].然而,拋物線型限定勢阱既沒有有限的深度也沒有范圍可言,是一種過于簡化了的模型,不能很好地反映真實的限定勢.一些實驗結果的限定勢應采用非拋物形的阱狀勢[13],如密度矩陣勢或非對稱三角勢[14]、高斯函數型限定勢阱[15]等,其中高斯函數型限定勢阱是一個很好的近似,它平滑并具有有限深勢阱和有限的阱寬.Adamowski等[16]研究了在假想高斯函數型限定勢阱束縛下的兩電子量子點系統,并討論了它的拋物近似.Xie[17]計算了高斯函數型限定勢阱中兩電子量子點的能譜.谷娟和梁九卿[13]利用數值矩陣對角化的方法計算了高斯函數型限定勢束縛下施主中心量子點系統能譜并討論了其特性.但這些工作均未考慮介質的極化效應.3)關于極化效應對電子態的影響.當計及量子點厚度時,由于強量子受限效應的存在,使得極化效應表現得更為明顯[18,19],毫無疑問,量子點的厚度引起的介質的極化效應對量子點中電子態的影響不可忽視.最近,Xiao[20]研究了RbCl反對稱高斯函數型限定勢量子阱量子比特的電場效應,Khordad等[21]研究了非對稱高斯函數型限定勢量子阱中束縛極化子基態和壽命的溫度依賴性.4)近幾年引入高斯限定勢阱研究低維結構電子態的性質在量子阱結構已有不少出色的工作報道[14,20?23],但是,相關研究在量子點結構領域甚少,尤其是研究電磁場對高斯函數型限定勢量子點中電子態變遷的影響的工作尚未報道.本文在計及量子點厚度和氫化雜質束縛情形下,分別選取拋物線型限定勢阱和高斯函數型限定勢阱描寫盤型量子點中電子的橫向限定勢和縱向限定勢,采用Lee-Low-Pines-Pekar變分法研究了電子在外磁場作用下的量子躍遷問題.

2 理論模型與變分計算

考慮一個處于盤狀量子點中與介質中的體縱光學(longitudinal optics,LO)聲子場相互作用的電子.建立笛卡爾坐標系,盤的中心軸線在Oz軸上,底面處于垂直于Oz軸的x-y平面上.在坐標原點處摻入一氫化雜質并施加沿z軸方向的磁場B.采用拋物線型限定勢阱

描述電子在垂直于磁場方向的限定勢,其中mb是電子的帶質量,ρ是電子在x-y平面上的位矢,ω0為量子點的橫向受限強度,為拋物線型限定勢范圍;采用非對稱高斯函數型限定勢阱

描寫電子在磁場方向的限定勢,其中,V0表示高斯函數型限定勢阱的阱深且V0＞0;L表示其阱寬,亦稱量子點的厚度.這樣,磁場中量子點內電子-氫化雜質-LO聲子場相互作用體系的哈密頓量可以寫為[20,21]

式中,VC(r)=?e2/(ε∞r)為庫侖勢,其余各量的物理意義與文獻[20,21]相同.

為利用變分技術得到體系的能量本征值和本征函數,首先,將哈密頓量H右邊寫成兩部分

這里

式中ωc=2eB/(mbc)為磁場的回旋頻率,B為磁感應強度.然后,再討論變分函數U?1H0U在|Φ〉態中的期待值問題,按照變分原理,

這里

是Lee-Low-Pines幺正變換[24],其中,fk和f?k為變分參數,|Φ〉是體系的試探波函數.假設對于體系的基態和第一激發態,高斯函數近似成立,則依據Pekar類型變分法[25?27],分別選取體系的基態試探波函數|Φ0〉和第一激發態試探波函數|Φ1〉為

其中λ0和λ1為變分參數;ψ0(ρ,z)和ψ1(ρ,z)分別表示電子軌道運動的基態和第一激發態試探波函數;|0ph〉是聲子的真空態,由bk|0ph〉=0確定.

將(5)式和(8)—(10)式代入(7)式中,可分別確定變分參數fk(λ0)和fk(λ1)為:

利用這些變分參數,并經過冗長的計算,得到電子-氫化雜質-LO聲子相互作用體系的基態(第一激發態)平均聲子數N0(N1)和能量E0(E1)分別如下:

3 結果與討論

為了揭示極化子的基態(第一激發態)平均聲子數N0(N1)和能量E0(E1)以及躍遷概率Q隨介電常數比η、磁場的回旋頻率ωc、電聲耦合強度α、高斯函數型限定勢阱深V0和阱寬L以及振蕩周期t的變化規律,我們給出了數值仿真結果,如圖1—圖9所示. 圖中分別以rp,ωLO,(ωLO)?1和?ωLO作為長度,ωc,t和能量的單位.

圖1分別描寫了極化子基態和第一激發態平均聲子數N0和N1在不同介電常數比η下隨拋物線型限定勢阱范圍R0的變化.圖1表明,在相同條件下,N0＞N1,這一結果符合統計物理規律.由圖1可以看出,N0和N1隨R0的增加而減小,這是因為隨著R0的增大,電聲相互作用由于粒子橫向運動空間的增大而減小,導致電子周圍平均聲子數減小;在給定R0下,N0和N1隨η的增加而增大,這是因為η越大,電子與氫化雜質間庫侖勢VC∝?(1?η)?1越強,由此產生的晶體附加極化增大,因而推高電子周圍的平均聲子數增大.

圖1 平均聲子數N在不同介電常數比η下隨拋物線型限定勢阱范圍R0的變化Fig.1.Mean number of phonons N as a function of the range R0of the parabolic con finement potential well(PCPW)at different dielectric constant ratio η.

圖2表示聲子數N0和N1在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖2可以看出,在L的不同區域內,N0和N1隨L的變化形式有所不同.1)當L較大時,N0和N1隨L的減小而單調增大.這是因為隨著L的減小,電聲相互作用由于粒子縱向運動空間被壓縮而增強,導致電子周圍平均聲子數增加.2)當L較小時,N0和N1隨L的減小而增大至一個最大值.這是一種量子現象,量子點的厚度越小,量子尺寸效應越明顯[18,19].3)N0和N1隨L的減小而增大至一最大值后又迅速減小.這意味著當量子點的厚度很薄時,LO聲子效應不再占主導作用,此時應該考慮表面光學聲子或界面光學聲子效應[29],這超出了本文的研究范圍.4)在L給定時,N0和N1隨V0的增加而增大.這是因為縱向約束勢增大,意味著介質的極化增強,亦即電子周圍平均聲子數就增多.

圖2 平均聲子數N在高斯函數型限定勢阱不同阱深V0下隨其阱寬L的變化Fig.2.Mean number of phonons N as a function of the well width L at different well depth V0of the asymmetric Gaussian functional con finement potential well(AGFCPW).

圖3表示了基態(第一激發態)能量E0(E1)在不同介電常數比η下隨拋物線型限定勢阱范圍R0的變化.由圖3可以看出,E0和E1隨R0的減小而增大,這是因為一般來說E0＜0,E1＜0,但是拋物線型限定勢阱VP＞0且在給定R0下,E0和E1隨η的增加而減小,這是因為在含氫化雜質的晶體或納米結構中,電子被庫侖勢(VC＜0)束縛于氫化雜質中[30?32],且η越大,氫化雜質對電子的限定勢VC∝?(1?η)?1越強,致使電子的能量越低.

圖4描述了能量E0(E1)在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖4可以看出,|E0|＞|E1|,|E0|和|E1|隨L的增加而增大,增大的幅度隨L的增加而趨緩;同時,在給定L下,|E0|和|E1|隨V0的增加而增大.這是由于高斯函數型限定勢阱函數VG(z)＜0,而且|V(z)|隨L或V0增加而增大所致.

圖5描述了躍遷概率Q在不同介電常數比η下隨拋物線型限定勢范圍R0的變化.由圖5可以看出:Q隨R0的縮小而減小.這是因為隨著拋物線型限定勢阱范圍的減小,電子在x?y平面內的受限增大,致使電子狀態的穩定性提高而改變它的難度增大.當R0較小(R0＜2.2rp)時,Q隨R0的減小而減小的幅度較大;當R0較大(R0＞2.2rp)時,Q隨R0的減小而減小的幅度很小.在給定R0下,Q隨η的增大而減小.這是因為η越大,氫化雜質對電子的庫侖限定勢VC∝?(1?η)?1越強,致使電子態的變化越難.

圖3 基態(第一激發態)能量E0(E1)在不同介電常數比η下隨范圍R0的變化Fig.3.The ground(the first excited)state energy E0(E1)as a function of the range R0of the PCPW at different dielectric constant ratio η.

圖4 基態(第一激發態)能量E0(E1)在不同阱深V0下隨阱寬L的變化Fig.4.The ground(the first excited)state energy E0(E1)as a function of the well width L at different well depth V0of AGFCPW.

圖6表示了概率Q在不同阱深V0下隨阱寬L的變化.由圖6可以看出,在L的不同區域內,Q隨L的變化形式有所不同:當L較大(L＞1.3rp)時,Q隨L的減小而單調減小,這一結果與圖5所示的Q隨拋物限定勢范圍R0的縮小而減小的規律相似;但是,當L較小(L＜1.3rp)時,Q隨L的變化而振蕩變化.這是一種量子現象,因為按照量子理論,阱寬L越小,量子尺寸效應越加明顯.比較圖6與圖5不難看出,圖6給出的躍遷概率Q隨高斯限定勢范圍L的變化規律,無論從量子力學理論看,還是從實驗結果[13]的檢驗看,都比圖5給出的躍遷概率Q隨拋物限定勢范圍R0的變化規律更加合理和符合實際.不過,當限定勢范圍(R0和L)的取值較大時,二者的變化規律基本一致,這是因為當z/L?1時,高斯函數型限定勢阱可以用拋物線型限定勢阱近似.總之,對量子點限定勢下的電子態及其變化而言,不考慮量子點的厚度所帶來的影響,其結果無疑是比較粗糙的,亦即無論是對量子點輸運性質還是光學性質的研究,考慮量子點厚度的影響是有實際意義的;與此同時,高斯函數型限定勢比拋物線型限定勢更能精確地反映量子點真實的限定勢.由圖6還可以看出,對于給定的L,Q隨V0的增加而減小.這是因為VG(z)＜0時,V0越大,電子的能量越低,電子的狀態就越穩定.

圖5 躍遷概率Q在不同介電常數比η下隨拋物線型限定勢阱范圍R0的變化Fig.5.The transition probability Q as a function of the range R0of PCPW at different dielectric constant ratio η.

圖6 躍遷概率Q在高斯函數型限定勢阱不同阱深V0下隨阱寬L的變化Fig.6.The transition probability Q as a function of the well width L at different well depth V0of the AGFCPW.

圖7表示了概率Q在不同耦合強度α下隨介電常數比η的變化.由圖7可以看出,Q隨η的增大而減小的幅度隨α的減小而增大,這是因為α越大,意味著電聲相互作用越強,致使電子周圍聲子平均數越多,電子的自陷越深,電子態發生躍遷的難度就越大.由此可見,在研究量子點中電子態的變化時不能忽略聲子(介質的極化)效應的影響.

圖7 概率Q在不同耦合強度α下隨介電常數比η的變化Fig.7.The probability Q as a function of the dielectric constant ratio η at different electron-phonon coupling strength α.

圖8描述了概率Q在不同耦合強度α下隨磁場的回旋頻率ωc的變化.由圖8可以看出,當ωc=0時,Q=0,Q隨ωc的增大而周期性振蕩上升,這都表明施加外磁場是電子態發生量子躍遷的必要條件.由圖8還可以看出,Q隨ωc的增大而周期性振蕩上升的形態受到α的顯著影響,Q的振蕩周期隨α的增大而增加,而振蕩的幅度隨α的增大而減小.

圖9分別表示了躍遷概率Q在不同介電常數比η和不同磁場的回旋頻率ωc下隨振蕩周期t的變化.由圖9可以看出,Q隨t的變化而做周期性振蕩.這是因為電子躍遷概率Q的時間演化規律由(16)式描寫所致,從物理上講,這是電子狀態隨時間的變化必須滿足其波動方程(薛定諤方程)的必然結果.由圖9不難發現,Q隨t做振蕩變化的形態受到η和ωc的顯著影響:Q振蕩的幅度和周期均隨η的增大而減小;Q振蕩的幅度和頻率均隨ωc增大而增加.

圖8 概率Q在不同耦合強度α下隨磁場的回旋頻率ωc的變化Fig.8.The probability Q as a function of the resonant frequency ωcof the magnetic field at differentelectronphonon coupling strength α.

圖9 概率Q在(a)不同介電常數比η和(b)不同磁場的回旋頻率ωc下隨振蕩周期t的變化Fig.9.The probability Q as a function of the period t of oscillation at different(a)dielectric constant ratio η and(b)resonant frequency ωcof the magnetic field.

4 結 論

在計及氫化雜質和厚度效應下,分別選取拋物線型限定勢阱和高斯函數型限定勢阱描寫盤型量子點中電子的橫向限定勢和縱向限定勢,采用Lee-Low-Pines-Pekar變分法研究了電子在磁場作用下的量子躍遷.數值結果表明:高斯函數型限定勢比拋物線型限定勢更能精準反映量子點中電子真實的限定勢;量子點的厚度對電子的躍遷概率的影響不凡;電聲耦合強度α、介電常數比η、磁場強度B、非對稱高斯函數型限定勢阱的阱深V0、阱寬L對電子的能量、聲子平均數、能量以及躍遷概率的影響顯著.