基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的解題思考
——談2015年高考福建理科卷三角函數(shù)試題的多維思考

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學(xué) 362000)

解題研究是高中數(shù)學(xué)的主要課題之一．但是大部分教師的解題研究常局限于題型、方法的歸類，而忽視對學(xué)科本質(zhì)的挖掘與應(yīng)用．實則，理解數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)往往能引領(lǐng)你的解題走向成功．比如，可以考慮從數(shù)學(xué)的定義出發(fā)；可以考慮問題求解的通性通法；也可以考慮應(yīng)用重要的數(shù)學(xué)思想方法．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；

(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β．

①求實數(shù)m的取值范圍；

考完之后，筆者了解了部分考生，大部分考生在解答問題(2)②時感覺無從下手．如何準(zhǔn)確地尋找解題入手點是解題的首要任務(wù)，筆者感覺可以從下面三個方面進行思考．

一、回歸數(shù)學(xué)定義

波利亞在其著作《怎樣解題》中，認(rèn)為“回到定義上去是一項重要的思維活動”．解題時，往往可以從定義出發(fā)．比如，本題可以考慮構(gòu)造角度(α-β)，然后結(jié)合定義求解(α-β)的余弦值．

解法一回歸三角函數(shù)定義

課本溯源本題的解法源自于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書必修4-人教版P108，B組第2題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)，試用A、B兩點的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值．

二、應(yīng)用通性通法

理解與掌握問題解決的通性通法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的根本．本題可以考慮從常規(guī)解題思路出發(fā)：利用輔助角公式化一角一函數(shù)，用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行正余弦值的轉(zhuǎn)化，用角度的構(gòu)造技巧得α-β=(α+φ)-(β+φ)，最后求出其余弦值．

解法二應(yīng)用三角恒等變換

三、滲透數(shù)學(xué)思想

課本溯源本題的解法源自于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書必修4-人教版P138，B組第2題：在三角形ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2+p(x+1)+1=0的兩個實根，求∠C．