從一道高三題看向量解法

李國平

(陜西省西安市田家炳中學 710000)

高中數學中的向量知識是一個非常重要的內容.平面向量考題多與三角函數，復數，平面解析幾何相結合，同學們又在選修2-1學習了空間向量，而空間向量是解決立體幾何中垂直，平行，夾角，距離等問題的有效方法.教材在許多地方也都涉及到向量的應用，同時也是高考考查的熱點，然而筆者從多年的教學實踐中發現，學生對向量運用和掌握還不能做到得心應手.更有甚者對于使用向量見而生畏，退避三舍，對此筆者在教學中不斷滲透向量思想，強化向量意識，強化向量這一工具對解題的影響，強調向量解題的多樣性，靈活性，并經常進行一題多解.希望學生重視向量這一工具，強化應用意識.

這是一道很平常的題目，但學生拿到之后無從下手，一臉茫然.既不能建系使用向量坐標進行運算，又不知道所求向量的夾角，該怎樣做?

學生根據提示，利用向量的加法,減法模仿數量積運算法則，進而求解，嘗試如下解法.

教師點評解法一不錯，運用了轉化和化歸及整體代換思想，將未知問題轉換并求解.這個解法雖然可以順利解出答案,但過程還是比較繁瑣.

則|a|=2,|c|=7.

1-2得 -7=4-2a·b+2b·c-49,

∴b·c-a·b=19,

教師點評;解法二通過設定空間向量的一組基底將未知向量轉化成已知向量，進而求解，但相對于解法一而言運算更簡單，思路更清晰轉化更巧妙.

再次引導：該題中我們遇到的關鍵向量是向量的夾角無一知曉，如果要想知道向量的夾角，除了利用數量積的定義外，還有什么辦法可以求某兩個邊夾角的余弦值呢？(學生馬上想到余弦定理)怎么用呢？所給的幾條邊的長度可以放在哪幾個三角形中來使用？這時解法三應運而生.

=3BDcos∠CBD-2BDcos∠ABD

教師點評該解法是將未知向量轉化成同起點出發的三個向量的數量積問題，利用余弦定理將未知夾角表示出來，并化簡得出結果，同樣體現轉化和化歸思想也是一個很不錯的方法， 請大家在還可以繼續探究來發現一些更好的做法，與其他同學溝通交流.

后記教學中筆者通過調查了解到許多學生拿到一道向量問題經常無從下手，不是不會做，而是缺乏將學過的向量公式和性質和遇到的問題有機結合在一起的能力.學生缺乏的是分析問題打開思路的方法，作為教師我們要通過設置合理的問題串來引導學生分析問題，抓住問題的實質，切不可直接將整個分析思路過程全盤托出，這樣只會適得其反，適時的問題引導，恰當的思維提示，不斷鼓勵肯定，讓學生通過自己的動手實踐體會知識和方法生成的過程，遇到相關問題就會水到渠成，逐步達到老師“不教”的目的.通過引導，我們的數學課堂才能充滿活力，課堂教學才會高效.