一道熱學題“一題多解”的深度剖析及啟示

劉大明 江秀梅

(江西省撫州市第一中學 344000)

一、提出問題

一題多解是物理試題解答中常見的現象，其特征是“殊途同歸”；但是，“殊途不同歸”的“一題多解”現象很少見.下面這道熱學試題，有三種解法，且所得結果相差巨大，最為關鍵的是，一線教師一時還難以判斷孰是孰非.試題呈現如下：

圖1

題目一個橫截面積S=20 cm2，內壁光滑且導熱良好的氣缸直立放置，如圖1所示，質量m=2 kg的活塞下方封閉了一定量的理想氣體，穩定時，氣柱長度h=20 cm，現把一個質量為M的物塊放置于活塞上方，待系統穩定后，被封閉氣柱長度h′=10cm，已知外界大氣壓p0=1×105Pa，重力加速度g=10 m/s2，外界溫度不發生變化.求：

(1)物塊的質量M；

(2)該過程中氣體與外界發生熱交換的情況.

解析(1)初態對活塞由平衡條件得

p0S+mg=p1S(1)

放上物塊待穩定后有

p1Sh=p2Sh′ (2)

此時對活塞由平衡條件得

p0S+mg+Mg=p2S(3)

聯立以上三式代入數據可得

M=22kg.

(2)解法1 整體考慮能量守恒，活塞及其上物塊減少的重力勢能通過氣體熱交換耗散于外界環境中(轉化為外界內能)，所以Q=(mg+Mg)(h-h′)，代入數據得到Q=24J.

解法2 對活塞全過程使用動能定理：(Mg+mg+p0)(h-h′)-Q=0-0，其中封閉氣體對活塞做負功，數值等于熱交換耗散于外界環境的熱量Q，代入數據計算得到Q=44 J.

第(1)問沒有異議，故不討論.本文就第(2)問進行探討：乍一看起來，3種解法都沒有明顯的錯誤，實際上，不同教輔書籍確有不一致解答，不同教師也可能給出不一致的解答.那么，3種解法，孰對孰錯？問題何在，如何破解？

就這道題，筆者所在單位也進行了熱烈討論，起初也想法不一，觀點迥異.下面就討論過程加以描述，并進行抽絲剝繭，一一剖析.

二、問診把脈——解法剖析

1.對解法1的剖析

解法1 的思考基礎是能量轉化，認為：全過程只有活塞上物體的重力勢能減小，活塞上方大氣重力勢能忽略不計，又因溫度不變，封閉氣體內能不變，因此，重力勢能減少是通過封閉氣體熱交換耗散于環境中，轉化為外界內能.其中，大氣對活塞做功對應什么能量轉化，因為平時接觸較少，極容易忽視，而且，“常識”讓我們想當然地認為，大氣的狀態并不會因活塞移動發生“顯著”變化，因而大氣重力勢能“不變”，于是，大氣對活塞做功一并忽略了.大氣對活塞做功肯定不可忽略，然而其對應的能量轉化關系是怎樣的？下文將構建等效模型給予說明.

圖2

2.對解法2的剖析

解法2的思考基礎是動能定理.活塞首末狀態明確(靜止)，而且活塞受到各個力的做功情況也清楚，運用動能定理求封閉氣體對活塞這一變力作功，也是不難想到的.對解法2，難以給出具有說服力的反駁理由，但要堅持本解法，無疑要回應解法1的問題關切.可以構建如圖2所示等價模型加以辨析.

設大氣壓強為p0，其上方活塞重力滿足m′g=p0S.當A處活塞放上物塊M后，封閉氣體的狀態變化跟題目情景一致.顯然，大氣和其上活塞會一起下降10cm.大氣對其上方活塞做負功、對其下方活塞做正功，且數值相等，從而實現了上方活塞重力勢能轉移(化)到封閉氣體里，當然最終通過熱交換耗散于環境中.這個等價模型很好地說明了，大氣做功不可忽略，其對應的正是重力勢能的變化.因此，這個等價模型印證了解法2，否定了解法1.

3.對解法3的剖析

解法3中，把全過程理解為滿足理想氣體狀態方程的等溫變化，是一個誤解！也即，前提條件pV=K(常量)在全過程中不成立，從而解法3不正確.

圖3

至此，似乎可以下結論：解法2正確.然而，在交流討論中，就解法2，一位同事提出了一個挑戰性疑點.

4.針對解法2的挑戰性疑點

眾所周知，在導熱良好條件下，封閉理想氣體緩慢壓縮過程為等溫變化過程，也是準靜態過程，如圖3的虛線反比例曲線所示，反比例曲線段AB與V軸所圍面積大小表示封閉氣體對外界所做的功，也正是解法3計算的熱交換對應的能量.值得強調，“緩慢”條件的重要性，宏觀上看，壓縮所需的外力是一個漸變變力；微觀上看，封閉氣體分子與活塞碰撞前后速率不變.然而，題目情景所加外力是一個恒力，活塞運動不可能“緩慢”，而是圍繞B所對應平衡位置(對封閉氣體而言，也是一個平衡態)做阻尼振動.從微觀上看，活塞向下壓縮時，由于活塞具有向下的速度，根據碰撞原理，封閉氣體分子與活塞碰后速率大于碰前速率，封閉氣體溫度略微增加；相反，活塞向上回彈時，由于活塞具有向上的速度，所以氣體分子碰后速率小于碰前速率，封閉氣體速率略微減小.因此，封閉氣體的p-V關系應是圖3帶箭頭的實線所示.由此不難推斷：在壓縮過程，封閉氣體克服外界做功大于等溫變化過程；相反，在膨脹過程，封閉氣體對外界做功小于等溫變化過程，這個反差很好地說明了：在全過程，封閉氣體克服外界做功大于等溫變化過程.從圖像上定性來看，這些反差累加結果很可能等于44 J-30.5 J=13.5 J，從而否定了解法3，印證了解法2，如此，挑戰性疑點得到破解.

三、拓展與啟示

在教育教學中遇到一些難題是常有的事；就這些難題進行交流討論，也十分必要.毋庸置疑，對這些難題進行深入分析，是促進教師專業成長的必經之路；對這些難題進行交流探討，是教師間進行專業研討的重要形式.然而，結合上面教學案例，就某些誤區提出一些看法和建議：

1.站高點才能領略“一覽眾山小”

不少教師認為，中學教師在大學所學的專業知識就中學教學沒有多大作用.特別是，“(師范)學得好，(入職)教不好”的反差現象，成為這一觀點的佐證.在應試環境下，考試成績成為了教學業績的唯一衡量標準.然而，考試成績好與壞，取決于眾多因素，而且可以通過各種途徑實現，題海戰術、拼時間幾乎是實現考試成績好的普遍做法.一般地，在應試泛濫的學校，諸如前文教學案例呈現的專業研討就非常少見；同樣，持有錯誤觀念的教師，面對一些教學難題時也難以深入研究，于是只能要求學生死記答案.筆者未重新翻閱大學教材之前，根據導熱良好條件守定為等溫變化，從而堅持解法3正確；待翻閱大學教材后，溫故“準靜態過程”后，就明白了自己之前的固執觀點的問題所在.中學教師應該時常翻閱大學教材；遇到教學難題，溫故大學教材一般能尋找到解決之道.教師站高點，才能發現教學過程中存在的前概念、迷思概念，否則面對自己的前概念、迷思概念，就難以自我突破.

2.不經教研談不上專業成長

很多學校已經不重視教研，有教學無教研現象非常普遍.邢紅軍教授認為，論文寫作是最佳的教研歷練方式，也是實現教師專業成長必經之路.然而，由于種種原因，論文寫作不再是衡量教學水平的重要標志了，這將會是中學教學中的一個災難！在前述教學案例中，沒有一定教研水平的教師，難以構建等效模型來闡述問題，也難以深入微觀視角破解挑戰性疑點.事實上，錢偉長院士就提出“無教研無教學”的教學觀點.

3.專業討論中踐行人格平等理念

物理試題中出現殊途同歸的一題多解現象非常普遍，在教學研討中，就某道題“你一法我一策他一計”式的熱烈研討，尤為津津樂道！教學論文中多半呈現這樣的教學案例.從心理學角度而言，這是最安全的討論，討論在一片點贊中愉快進行.相反，諸如前述殊途不同歸的“一題多解”的教學研討中，極容易冷場，原因在于某些想法或觀點被“證偽”時，“一喜一憂”總讓人尷尬.所以，推進專業討論，務必構建人格平等觀念，避免能力方面的評判，如此才能在彼此“失誤”中汲取營養實現共同成長.在前述案例研討中，正確解法的確立是建立在各種錯誤解法的證偽上實現的，聚焦了所有研討教師的智慧.