基于模糊綜合評判的改進策略及優化方法

馬占新, 斯 琴

(1. 內蒙古大學經濟管理學院, 內蒙古 呼和浩特 010021; 2. 內蒙古大學數學科學學院, 內蒙古 呼和浩特 010021)

0 引 言

在進行綜合評價時,能否回答以下兩個問題至關重要:①評價的結果是什么?②導致這種評價結果的原因是什么,如何改進?模糊綜合評判方法[1](fuzzy comprehensive evaluation method,FCEM)是一種重要的綜合評價方法。由于該方法能較好地解決許多模糊且難以量化問題的評價,因此,幾乎被應用到經濟和社會發展的各個領域[2-4]。目前,ISI Web of Science等文獻庫中可以檢索到與模糊綜合評判有關的論文就超過30 000篇。盡管FCEM具有廣泛的應用和重要的作用,但該方法也還有需要完善的方面。這主要表現在FCEM只能提供模糊對象綜合評判結果的好壞,但無法給出導致這種結果的原因以及改進的策略。而決策者在獲得綜合評價結果的同時,更希望知道導致這種結果的原因以及可行的改進方向。

數據包絡分析(data envelopment analysis,DEA)方法的提出則有可能為這一問題的解決提供可借鑒的經驗。DEA是一種重要的效率分析方法[5-10],傳統DEA方法要求輸入和輸出數據為精確數[11-13],然而,實際應用中可能有許多數據并不是精確的,一些學者考慮如何應用DEA方法來評價具有模糊數據的效率評價問題[14]。自文獻[15]首次提出模糊DEA方法以來,模糊DEA方法獲得較快發展,比如文獻[16]研究了目標和約束均為模糊數的模糊DEA模型。文獻[17]提出了一種通過利用隸屬函數將模糊輸入輸出轉換成精確值的數學規劃方法。文獻[18]給出了一種尋找模糊效率值的隸屬度函數的方法。文獻[19]通過事先定義好的可能性水平,利用模糊數的比較規則,將包括模糊等式和不等式在內的約束轉換為確定性約束,提出了一個模糊CCR模型。基于相同的思想文獻[20]提出了與文獻[19]不同的模糊BCC模型。文獻[21]根據文獻[22]所提到的不確定理論將CCR模型擴展為基于可信度測量的模糊DEA模型。目前,ISI Web of Science等文獻庫中可以檢索到有關模糊DEA的論文就超過500篇。文獻[23]把這些成果大致分了4個類別,即公差法[15-16]、α截集的方法[24]、模糊排序方法[25]、可能性方法[26]及其他方法[27-28 ]。

盡管DEA方法與FCEM相結合的成果很多,但這些成果探討的只是一個模糊生產系統的投入產出效率評價問題,并且這些方法還必須滿足相應的生產函數公理體系。而FCEM并不是效率評價方法,也很難符合生產函數的公理體系,因此,模糊DEA方法并不是對FCEM本身的完善,也無法提供模糊綜合評判結果改進的策略。為此,以下在FCEM的基礎上,給出了模糊可能集和模糊有效性的概念,并構造了相應的數學模型,該模型不僅能找出模糊對象評價結果無效的原因,而且還能為模糊對象的調控提供許多改進的信息。

1 模糊事件可能集的構造與模糊事件的有效性分析

在綜合評判的過程中,人們不僅希望知道評判的結果,更希望知道導致不足的原因,以及通過何種途徑達到有效的改進。然而,FCEM只能給出被評價事件自身的優劣性,卻無法發現導致模糊事件不足的原因,以及改進的方向。這可以用圖形表示,如圖1所示。

圖1 FCEM的優點和不足Fig.1 Advantages and disadvantages of FCEM

為此,本文利用模糊事件之間的關聯性提出發現模糊事件改進策略的新方法,該方法的提出對推進FCEM的應用能力、豐富模糊綜合評判技術具有重要意義。

1.1 FCEM的基本信息

FCEM是應用模糊關系合成原理,從多個因素對被評判事物隸屬等級狀況進行綜合評判。假設在對某n個模糊事件L1,L2,…,Ln進行模糊綜合評判時,共使用了以下信息:

(1) 模糊事件集為

L={L1,L2,…,Ln}

(2) 評價的因素集為

U={u1,u2,…,um}

(3) 評價集為

V={v1,v2,…,vs},v1>v2>…>vs>0

(4) 第j個模糊事件的模糊關系矩陣為

(5) 權數集為

那么,如何應用上述信息來構造模糊事件可能出現的情況呢?以下從系統性的角度出發重新審視模糊矩陣使用的信息。

1.2 模糊事件評價結果可能集的構造

則定義模糊事件集S所有可能評價結果的集合TF為

TF={R(L)|L∈S}

在現實社會中想找到真正的集合TF是十分困難的,然而人們的社會實踐卻可以獲得該類事物大量的經驗數據,在現實中人們也恰恰是通過這些經驗進行決策和判斷的。因此,以下探討如何通過經驗數據構造模糊事件集S的評價結果經驗可能集Tf。

以下首先給出模糊事件集S的評價結果經驗可能集的幾個構造原則。

原則1存在性原則

對于模糊事件Lj(j=1,2,…,n),令

顯然

R(j)∈Tf,j=1,2,…,n

存在性原則表明:由于現實中存在的n個模糊事件同屬于模糊事件集S,則其評價結果顯然也應該是該類事件可能出現的評價結果。

比如某高校教師的評價集為

V={優,良,好,中,差}

該校一位數學教師(教師T1)的百米成績的評判結果為

(0.0,0.0,0.5,0.5,0.0)

數學教學水平的評判結果為

(0.5,0.5,0.0,0.0,0.0)

原則2歸一性原則

如果R=(R1,R2,…,Rm)T∈Tf,Ri=(ri1,ri2,…,ris),則

,i=1,2,…,m

歸一性原則表明:Ri=(ri1,ri2,…,ris)反映的是第i個因素的評價結果在評價集中的分布比例,其和為100%。

原則3系統性原則

模糊事件L的第i個因素評判值Ri=(ri1,ri2,…,ris)反映了第i個因素真實存在的一種評價結果,而R=(R1,R2,…,Rm)T則反映了模糊事件L的各個因素評價結果之間的關聯,其是一個不可分割的整體。

原則4加性原則

比如在圖2中,教師T1的百米成績(A1)不如教師T2的百米成績(A2)得到的評價高,但教師T1通過努力鍛煉來提高決策者對其百米成績(Aλ)的評價是可能的。在不考慮教師身體個性差異的前提下,教師T1越鍛煉,其百米成績會越接近教師T2的百米成績(A2)。從另一方面看,由于每位老師的精力有限,教師T1在體育上投入了更多的時間,則在教學方面的精力會有所下降,根據教師T1和T2的表現,教師T1在百米成績達到Aλ時,其數學教學水平出現Bλ的情況也是可能的。

圖2 教師評價指標變動的估計Fig.2 Evaluation of teacher evaluation index changes

原則5最小性原則

模糊事件評價結果的經驗集合Tf為滿足原則1～原則4的所有集合的交集。

定理1滿足原則1～原則5的模糊事件評價結果的經驗集Tf可以表示為

證明(1) 對于任意的j,取λj=1,λk=0,k≠j,顯然

所以,R(j)∈SL。故SL滿足原則1。

由此可知

所以,SL滿足原則2。

由此可知

λ+(1-λ)=1

由于集合Tf滿足原則1,則可知

R(j)∈Tf,j=1,2,…,n

由于Tf滿足原則4,則可知

λj∈Tf

即R∈Tf,所以SL?Tf。

證畢

集合Tf以現實中已經獲得的經驗評價結果為基礎來構造一類模糊事件可能出現的評價結果,為決策者的進一步調控和改進提供了經驗和方向。

1.3 模糊事件的有效性分析

由于世界的復雜性與多樣性使得很多事件各有優劣,一個模糊事件的各項指標也很難都達到最優秀的程度。比如一個數學大師的百米速度很難達到世界冠軍的水平,同樣一個百米冠軍的數學水平也無法達到數學大師的水平。因此,一個模糊事件指標值能夠達到的最佳狀態可能并不是每個指標均達到最大值,而更可能是形式多樣、各有所長。即在多指標的情況下模糊事件的有效狀態不一定是一個理想點,而是一個由pareto有效點構成的集合。同時,一個模糊事件的某個指標的評價結果較差也并不一定是模糊事件的無效原因和調控方向。比如,一個數學老師體育成績較差當然是他的不足,但百米冠軍的速度也不應該成為他必須達到的目標。因此,單從模糊事件本身的評價結果并不能找出模糊事件無效的原因和調整的方向,而是應該根據經驗數據和同類單元的表現來估計被評價事物可能達到的程度。為了解決這一問題,以下從參數與非參數角度出發分兩種情況進行討論。

(1) 從非參數角度分析模糊事件的有效性

假設f(R)是定義在集合SL上的度量函數,用其來度量一個模糊對象的綜合評價結果。對于任何R=(R1,R2,…,Rm)T∈SL,令f(R)=(f(R1),f(R2),…,f(Rm)),則可以給出以下模糊對象的有效性定義。

定義1表明,從目前獲得的經驗數據看,如果不存在某個同類事件的指標評價值比第j0個模糊對象更好,即達到pareto有效,則認為第j0個模糊對象為F-DEA有效。

定義2對于第j0個模糊對象,如果不存在R∈SL,使得f(R)>f(R(j0))成立,則稱第j0個模糊對象為F-DEA弱有效。

(2) 從參數角度分析模糊事件的有效性

定義3如果R(j0)為規劃(FM)的最優解,則稱第j0個模糊對象為FZ-DEA有效。

定義3表明,從目前獲得的經驗數據看,如果第j0個模糊對象的總體評價值和其他同類事件相比達到最大,則認為第j0個模糊對象為FZ-DEA有效。

2 模糊事件的有效性度量方法

為了進一步對模糊事件的有效性進行度量以及找到模糊事件的改進策略,首先給出模糊事件的有效性度量模型。

2.1 模糊事件的有效性含義

首先,對于集合SL,如何刻畫出定義在SL上的度量函數f(R)的值域呢?下面先給出定理2。

λj,

因此

由此可知

λj,

證畢

以下通過一個例子來說明F-DEA有效性的度量。假設f(SL)如圖3中的陰影部分所示,其表示從目前的經驗數據看模糊對象可能出現的情況。圖3中的曲線ABCD為F-DEA有效點構成的有效面,處于有效面上的點在指標(f(R1),f(R2))上不劣于目前獲得的所有經驗值。

圖3 模糊對象度量方法示意圖Fig.3 Schematic diagram of fuzzy object measurement

這里θf=l2/l1表達了無效點G占有效點F的比例。

對第j0個模糊事件,為了進一步計算F-DEA有效性程度,給出θf一般意義下的度量公式為

2.2 模糊事件有效性度量模型

設ε為非阿基米德無窮小量,對于模型(FD)有

因此有

證畢

證畢

由定理3的結論可知通過模型(FD)的最優解可以度量模糊事件的F-DEA有效性,通過定理4的結論可以判斷模糊事件是否為F-DEA有效。

對于模型

有定理5。

證畢

3 模糊事件的投影與改進策略

如何根據有限的數據資源獲得無效單元的改進信息對管理決策具有重要意義。以下通過討論模糊事件在模糊事件評價結果經驗集上的投影,來獲得模糊事件評價結果與最佳經驗目標之間的差距。

3.1 模糊事件的投影概念及方法

定義4若線性規劃(FD)的最優解為λ0,s0,θ0,令

(i=1,2,…,m,k=1,2,…,s),

證明若線性規劃(FD)的最優解為λ0,s0,θ0,顯然有

vk,i=1,2,…,m,

證畢

3.2 模糊事件無效原因的分析方法

3.2.1 模糊事件個體的無效原因分析

當分析某一個模糊事件的無效原因時,比如某個學生的學習情況評價結果較差的原因。本文給出了以下測度方法。

若線性規劃(FD)的最優解為λ0,s0,θ0,令

則稱Δf(R(j0))為第j0個模糊事件的無效程度度量值。

假設圖4中f(R1)和f(R2)分別表示學生的語文和數學的評價值,點G的投影為點F。

圖4 模糊對象的無效原因Fig.4 Invalid cause of fuzzy object

其中,學生G的有效值θf為0.667,學生F的有效值為1。學生G和評價較高的學生F相比有效性差距較大。由Δf(R1)=0.3,Δf(R2)=0.3可以看出,學生G無效的原因在于語文和數學方面與有效學生F均存在較大差距(差距均為0.3)。這些信息為學生G發現自身不足、找到學習榜樣提供了可供參考的信息。

3.2.2 模糊事件群體的無效原因分析

當分析某個群組整體的無效原因時,比如為了更好地進行集中培訓,決策者需要分析某個班級、某個學習小組或者某類特定人群的不足時,本文給出了以下測度方法。

若Q?{1,2,…,n},令

則稱ΔFQ為群組Q的無效程度度量值。

3.3 模糊事件改進策略的發現方法

為使決策者進一步發現有效的改進策略,以下基于模糊事件與有效投影的差距,給出尋找模糊事件優化自身策略的方法。

3.3.1 模糊事件個體的改進策略分析

當分析某一個模糊事件的改進策略時,比如某個學生如何通過有效方法提高自身評價結果。本文給出了目標改進型、成本優化型、成本約束型3種改進策略。

(1) 目標改進型策略

該方法適用于問題本身不需要考慮成本,或者決策者暫時難以獲得成本信息的問題。

若線性規劃(FD)的最優解為λ0,s0,θ0,令

則稱ΔR(j0)為第j0個模糊事件的可行有效調控量。

(2)成本優化型策略

)

在此基礎上求調控成本最小的方案。因此,有

這時第j0個模糊事件的調控量為

(3) 成本約束型策略

首先,調控是可行的。即

∈SL

其次,滿足成本限制,調控成本不能超過給定的總成本C。

在此基礎上求總績效最大的方案。則有

這時第j0個模糊事件的調控量為

3.3.2 模糊事件群體的改進策略分析

當分析某個群組的整體改進策略時,本文給出了測度方法。

若Q?{1,2,…,n},令

則稱ΔRQ為群組Q的可行有效調控量。

4 模糊事件的有效性度量方法在飛行員心理素質評判中的應用

假設某校航空學院為做好飛行員心理素質培養,準備對某班級18名飛行學員心理素質進行綜合評價,希望通過分析發現人才培養過程中的短板和不足,并找到有效提升學員整體素質的辦法。

在評價過程中,學院根據實際情況選擇飛行學員心理素質評價的因素集為U={u1,u2,u3},其中u1=應對能力,u2=心理感知能力,u3=人格特質。通過層次分析方法可得各因素的權重集為A={a1,a2,a3}={0.297,0.540,0.163}[29],評價集V={v1,v2,v3,v4}={優,良,中,差}={1.00,0.75,0.50,0.25}。根據專家組成員對飛行學員的各因素進行評價后獲得各飛行學員的模糊矩陣的值如表1所示。

表1 某班級18名飛行學員心理素質評價結果的模糊矩陣

4.1 飛行學員心理素質的模糊評判

首先應用傳統的FCEM對飛行學員的心理素質進行評價,采用FCEM中的加權平均法來計算每個飛行學員的模糊綜合評價值,其結果如表2所示。

表2 模糊事件的模糊綜合評價值

從表2的計算結果看,綜合評價值最高的是飛行學員1,評價值為0.897,評價值最低的是飛行學員8,評價值為0.478。其中飛行學員1、3、6、7、9、10、11、13、16、17的評價值大于0.7,評價結果良好;飛行學員2、4、5、12、14、15的評價值小于0.7,但大于0.5,評價結果一般;飛行學員8、18的評價值小于0.5,評價結果不太理想。

盡管應用FCEM能夠得到飛行學員心理素質的綜合評價值,但導致這種結果的原因是什么?如何找到進一步改進的方案呢?一方面,該問題存在一個可達性的問題。比如讓每個飛行學員在人格特質方面都達到飛行員的極限值顯然是不現實的。另一方面,該問題也存在一個多樣性的問題,每個人應該各有所長,有的應對能力強些,有的心理感知能力強些。那么,如何找到有針對性的、符合這個群體實際的無效原因和改進策略呢?以下對這一問題給出進一步分析。

4.2 飛行學員心理素質的無效原因分析

根據模糊綜合評價結果,學院領導決定對評估結果較差的飛行學員進行重點分析,采取精準幫扶。對評價結果居于后三分之一的飛行學員找出總體原因,采用輔導班的形式集體幫扶。為了找出飛行學員模糊綜合評判結果較差的原因,應用本文給出的方法進行分析。

(1) 飛行學員個體的無效原因分析

以下應用Δf(R(j0))的計算公式對重點幫扶對象——飛行學員8、飛行學員18進行計算,結果如圖5所示。

其中,Δf(R(8))=(0.281, 0.250, 0.125),Δf(R(18))= (0.125, 0.313, 0.188),從表2和圖5可以看出:飛行學員8的模糊綜合評價結果為0.478,該學員的人格特質評價較好,但在應對能力和心理感知能力方面還需要較大的提高;

飛行學員18應對能力評價較高,但在心理感知能力和人格特質方面則需要較大的提高。根據調查發現,飛行學員8為人樂觀,善于交際,但在記憶能力和自身耐心度重視不夠,而飛行學員18則是由于性格內向、注意力不夠集中等原因導致的人格特質和心理感知能力評價較低。

圖5 飛行學員的無效原因分析Fig.5 Analysis of flying cadet’s inefficient reasons

(2) 飛行學員群體的無效原因分析

對評價結果居于后1/3的飛行學員應用ΔFQ的計算公式可得

ΔFQ=(0.211, 0.217, 0.215)

從計算結果看,后1/3飛行學員的問題是在應對能力、心理感知能力、人格特質方面均存在一定差距,需要全面提升。因此,在集中培訓課程的設計上需要全面考慮。

4.3 模糊事件有效改進策略的發現方法

針對存在的問題,為了進一步發現飛行學員有效的改進策略,應用本文給出的方法進行分析。

(1) 飛行學員個體的改進策略分析

應用ΔR(j0)的計算公式對重點幫扶對象——飛行學員8、飛行學員18進行計算,計算結果如表3所示。

表3 基于模型(FD)的個體改進策略信息

從分析可以看出,由于飛行學員8為人樂觀,善于交際,但對個人要求較為松懈。基于表3的計算結果可以給出飛行學員8的基于目前經驗數據的努力目標和改進策略如下:

①在應對能力方面作出更大的努力,如提高耐心程度等辦法,將良評和中評中的0.25轉化成優評、并消除差評,進而大幅提高優評的結果,使應對能力的優評提高到0.625。

②在心理感知能力方面消除差評,將良評和中評分別提高0.25和0.50,使心理感知能力達到中等以上水平。

③在人格特質方面還需要繼續努力,將良評轉化為優評,人格特質整體達到優秀水平。

這樣的目標對于飛行學員8而言是十分可行的參考。通過這樣的努力,飛行學員8就可以使自身達到較好水平。

飛行學員18的問題是由于性格內向,注意力不夠集中等原因導致的,基于表3的計算結果,飛行學員18的努力目標是:

①積極參加訓練、合理加強鍛煉,使人格特質成績的差評減少0.375。

②在心理感知能力方面,消除差評,將良評和優評均提高0.25,使總體評價提高到中等以上水平。

③在應對能力方面,積極參加各項活動,培養決策能力和抗壓能力,努力將良評轉化成優評。

通過這樣的努力,飛行學員18就可以使自身達到較好水平。

(2) 飛行學員群組的改進策略分析

以下應用ΔRQ的公式進行計算,可得后1/3飛行學員指標值R(j)(∈Q)的平均值RQ及其可行有效調控量ΔRQ如表4所示。

表4 基于模型(FD)的群組改進策略信息

從表4可以看出,對后1/3飛行學員進行集中培訓時要注意以下幾點:

①在應對能力方面作出較大努力,消除差評,分別將良評和中評中的0.24和0.208轉化成優評,進而使優評值再提高0.511。

②在心理感知能力方面消除差評,將心理感知能力盡可能提高到中等以上水平。

③在人格特質方面,將差評降低0.29,將優評提高0.295。

通過這樣的努力可以大幅提升后進飛行學員的整體水平,進而達到全面發展的目標。

5 結束語

從上述討論看,FCEM盡管能很好地為決策者提供決策對象的好壞程度,但是無法提供無效單元的改進方法。本文利用模糊事件之間的關聯性提出發現模糊事件改進策略的新方法,該方法的提出對推進FCEM的應用能力、豐富模糊綜合評判技術具有重要意義。