構建動量知識體系,把握動量與能量關系

■湖南省汨羅市第一中學 鄭宏建

一、構建動量知識體系

1.三個重要概念:

(1)動量:質量與速度的乘積(p=mv),動量的方向與速度的方向相同。

(2)動量的變化量:末動量與初動量之差(Δp=p'-p)。

(3)沖量:力與力的作用時間的乘積(I=Ft),沖量的方向與力的方向相同。

2.兩大核心規律:

(1)動量定理:物體在一個過程始末的動量變化量等于它在這個過程中所受力的沖量,即Δp=I。

(2)動量守恒定律:如果一個系統不受外力,或者所受外力的矢量和為0,這個系統的總動量保持不變。①表達式:系統相互作用前的總動量p等于系統相互作用后的總動量p',即p'=p。也可表達為Δp1=-Δp2,即若相互作用的系統為兩個物體,則兩物體動量的增量大小相等、方向相反。②動量守恒定律的適用條件:系統不受外力或所受外力的合力為零,則系統的動量嚴格守恒;系統所受合力不為零,但在某一方向上系統所受外力的合力為零,則在該方向上系統動量守恒;系統雖受外力,但內力遠大于外力且作用時間極短,如碰撞、爆炸過程,動量近似守恒。

3.三大典型應用:碰撞、爆炸、反沖。

碰撞、爆炸、反沖過程均遵從動量守恒定律。如果碰撞過程中機械能守恒,那么這樣的碰撞叫彈性碰撞;如果碰撞過程中機械能不守恒,那么這樣的碰撞叫非彈性碰撞。

二、動量及動量守恒定律的應用

1.利用動量定理求解瞬間作用問題。

例1某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一卡通玩具穩定地懸停在空中。為計算方便起見,假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上沖擊玩具的底部,玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上水的速度變為零,在水平方向上朝四周均勻散開。忽略空氣阻力,已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g。試求該卡通玩具的質量。

解析:采用微元法進行分析,取一段很短的Δt時間內沖擊玩具底部的一小段水柱為研究對象,設其體積為ΔV,質量為Δm,則Δm=ρΔV,ΔV=v0S·Δt,解得Δt時間內從噴口噴出的水的質量Δm=ρv0S·Δt。玩具在空中懸停,則由力的平衡條件得F=Mg。根據牛頓第三定律可知,玩具對其底部水柱的作用力F'=F,由題意可知,在豎直方向上,對該部分水柱應用動量定理得(F'-Δmg)·Δt=Δm·v0。因為Δm很小,Δmg也很小,可以忽略,所以有F'·Δt=Δm·v0。聯立以上各式解得

點評:求解本題有兩個難點,一是研究對象的選擇,即取一段很短的Δt時間內沖擊玩具底部的一小段水柱為研究對象,建立“微元柱體模型”;二是應用“微元”方法建立動量定理的方程,并結合數學知識完成求解。

2.兩物體的多過程碰撞問題。

圖1

例2如圖1所示,固定在水平面上傾角θ的軌道底端有與之垂直的擋板,材質和粗糙程度都相同的小物塊A、B的質量分別為m和2m,它們之間夾有少量炸藥并一起以速度v0=2m/s沿軌道勻速下滑,當兩物體與擋板間的距離L=0.4m時炸藥爆炸,炸藥爆炸后物塊A的速度恰好變為零,隨后物塊B與擋板發生彈性碰撞,碰后物塊B沿軌道上滑與物塊A發生彈性碰撞。取g=10m/s2,求:

(1)物塊B與擋板第一次碰撞后瞬間,兩物塊的速度大小。

(2)物塊B上滑與A碰撞后瞬間,兩物塊的速度大小。

解析:(1)設沿軌道向下為正方向,在炸藥爆炸過程中,對物塊A、B應用動量守恒定律得(m+2m)v0=2mv1,解得v1=3m/s。由題意可知,物塊B在下滑過程中做勻速運動,與擋板碰撞時無能量損失,故與擋板碰后瞬間物塊B的速度大小vB=3m/s,物塊A在炸藥爆炸后至與物塊B碰前一直處于靜止狀態,故vA=0。

(2)設物塊B上滑與A碰撞前的速度為v2,則對物塊B與擋板碰撞后至與物塊A碰撞前應用動能定理得,解得v2=1m/s。設物塊B上滑與A碰撞前后瞬間兩物塊的速度分別為對兩物塊的碰撞過程應用動量守恒定律得2mv2=2mvB'+mvA',由機械能守恒定律得解得

點評:求解本題需要按時間順序分析物體的運動過程,重點分析碰前、碰中與碰后三個過程及每個過程遵循的物理規律,知道彈性碰撞過程遵守動量守恒和機械能守恒,并利用動能定理分析物塊B上滑與A相撞前B的速度。

3.多物體的多次碰撞問題。

圖2

例3如圖2所示,粗糙的水平面上靜止放置著三個質量均為m的小木箱,相鄰兩小木箱間的距離均為l。工人用沿水平方向的力F推最左邊的小木箱使之向右滑動,逐一與其他小木箱碰撞,每次碰撞后小木箱都粘在一起運動。整個過程中工人的推力F不變,最后恰好能推著三個小木箱勻速運動。已知小木箱與水平面間的動摩擦因數都為μ,重力加速度為g,碰撞時間極短,小木箱可視為質點。求第一次碰撞和第二次碰撞中木箱損失的機械能之比。

解析:最后三個小木箱勻速運動,則F=3μmg。工人只推最左邊的小木箱時,由動能定理得小木箱發生第一次碰撞時,由動量守恒定律得mv1=2mv2,碰撞中損失的機械能一次碰撞后,工人推著兩個小木箱向右運動,由動能定理得小木箱發生第二次碰撞時,由動量守恒定律得2mv3=3mv4。碰撞中損失的機械能聯立以上各式解得

點評:多物體的多次碰撞問題一般可以轉化為兩物體的碰撞問題,分析清楚兩物體在碰前與碰后這兩個過程遵循的物理規律,即可利用動量守恒定律與能量守恒定律將碰撞前后的物理量聯系起來。

圖3

1.如圖3所示,一質量M=3kg的玩具小車在光滑水平軌道上以速度v0=2m/s向右運動,一股水流以水平速度u=2.4m/s自右向左射向小車的豎直左壁,并沿左壁流入車箱內,水的流量b=0.4kg/s。

(1)要改變小車的運動方向,射到小車里的水的質量至少是多少?

(2)當射到小車里的水的質量m0=1kg時,小車的速度和加速度各是多大?

圖4

2.如圖4所示,質量為2m、高度為h的光滑弧形槽末端水平,放置在光滑水平地面上,質量為m的小球A從弧形槽頂端由靜止釋放,之后與靜止在水平面上質量為m的小球B發生對心碰撞并粘在一起,求:

(1)小球A滑下弧形槽后的速度大小。

(2)小球A、B碰撞中損失的機械能。

參考答案:

1.(1)2.5kg,(2)0.9m/s,0.33m/s2。