關于研究生圖論教學的研究

摘要：《圖論及其應用》是我校數學系研究生的一門基礎選修課，選修的同學來自多個專業方向，存在基礎不同，研究方向迥異等諸多問題。論文分析了上這門課時遇到的問題，并提出解決方法，希望能提高教學效果。

關鍵詞：圖論；研究；教學模式

一、引言

圖論是研究由若干點及連接點的邊所組成的圖的科學，是數學的一個分支，屬于應用數學的一部分。圖論是一門古老而又新興的科學，它的起源很早。早在1736年，著名的科學家歐拉在哥尼斯堡七橋問題[1]上就用圖的方法解決這個問題，并開創了一門學科——圖論。雖然在歐拉發表奠基性論文之后的幾百年時間，圖論發展非常緩慢，很多問題都是圍繞游戲展開，如迷宮問題，博弈問題，棋盤上馬的行走問題等。直到十九世紀中葉，圖論問題大量出現，如四色問題，漢密爾頓問題[2]等，并且以圖為工具解決了其他領域的問題。隨著上世紀七八十年代科學的發展，在生產管理，交通運輸，軍事，計算機等領域提出了很多離散問題，促進了圖論的發展。所以現在圖論知識涉及到各個領域，有著舉足輕重的地位。

我校數學系開設《圖論及其應用》這門基礎選修課[3]，是希望同學能掌握基本的圖論知識，學會圖論中的算法，并靈活掌握解決圖論問題的方法。在講授這門課的時候，發現同學存在基礎差異巨大、研究方向迥異、對圖論應用缺乏了解等諸多問題[4]。

二、圖論教學中存在問題分析

1、同學基礎差異較大

學校的研究生本科階段在不同的學校學習，各校的培養計劃不同，所學的知識也不同。有些學校將圖論列為必修課，所以這些同學在本科階段已經有了系統的學習，對圖論的基本概念，重要定理，主要方法已經有了很好的掌握，基礎較好。另外一部分同學所在學校僅開設了《離散數學》，或者將圖論列為選修課，同學重視程度不夠，所以雖然了解一些相關概念，但是基礎不佳。最糟糕的是極少數同學在本科階段沒有學習過任何圖論有關的知識，所以同學的基礎為零。同學基礎差異太大，給圖論的教學帶來了很大麻煩。

2、同學自身學習能力不足，對圖論這門學科的應用背景不了解

研究生階段是一個深層次學習的階段，不同于本科階段的學習，要求同學有一定的自學能力和研究能力，上課也不會像本科上課那樣講得很細，更多需要引導同學自己去思考，具備獨立思考和解決問題的能力。對同學的學習要求較高。同時同學思維固化，覺得跟數學相關的學科都沒有什么實用性，學了沒用。學習缺乏積極性和主動性，也是同學學好圖論的攔路虎。

3、圖論本身知識結構復雜，內容多，覆蓋面廣

圖論本身脫胎于實際問題，一開始人們的研究也是從游戲開始的。很多概念名稱都是從外國文獻中翻譯過來，所以造成不同圖論書存在概念名稱不統一，符號表示不一致等問題。同一個概念在不同的書中用不同的符號表示，同一個名稱在不同的書中表示不同的概念。比如二部圖、偶圖、二分圖在英文中都是bipartite graph。又比如“環”，在一些教材中表示兩個端點重合的邊，而在另外一些教材中表示頂點數與邊數相等的圖。這些都給同學們自主學習帶來一定的困難。同時圖論概念定理比較多，看著接近，實則不同，容易混淆，不利于記憶。另外圖論的證明方法多樣，比較靈活，難度較大。所以同學們在學習過程中普遍反映能看懂證明過程，但自己想不到，做不來。

4、研究方向不同，學習側重點不一樣

研究生階段學習時間緊張，任務較重，加之圖論內容多，覆蓋廣。本身這門課是選修課，所以他們不可能對每個課題都感興趣，而會選擇跟自己的研究方向較近的，或者在研究過程中需要用到的內容去深入研究，而其他內容則泛泛而讀，這種現象也不利于學好圖論。

三、圖論教學的改進意見

在認識到了問題所在，對于圖論的教學，我們從提高學習興趣，改革教學模式等方面著手，以提高同學的學習效果，提高教學質量。

1、提高學習圖論的興趣

“興趣是最好的老師。”這句話是對興趣在學習中的作用的最好詮釋。我們首先要做的就是激發學生的學習興趣，提高他們的求知欲。圖論本身就是跟生活最接近的數學分支之一，它的應用非常廣泛。最開始可以拋開理論，先介紹圖論的應用背景，讓他們知道圖論是有用的學科。可以從一些經典的問題出發，比如排課問題，貨郎擔問題，四色問題等等，激發他們的學習興趣。

2、改變教學模式，安排學生講解，提高自主學習能力

由于圖論的一些基礎知識具有內容通俗易懂，上手容易的特點，所以可以在開學初，將同學分成若干小組，每組3人，選擇一些課題，讓小組成員學習，然后講解。這既提高了他們自主的學習能力，也能在小組之間產生討論的氛圍，培養研究精神，比較符合研究生的培養特點。同時也可以彌補不同基礎層次同學之間的差異，形成基礎好的同學帶動基礎差的同學，最后達到共同進步。

同時教學和練習相結合，課堂上既有講解，也可適當安排練習，當場熟練所講內容。同時安排課后的思考題，思考題難度較大，有利于同學鞏固所學，提高學習能力。

3、教學內容與實際相結合

所謂的教學內容與實際相結合，包含兩個含義：既是教學內容與學生所學專業相結合，也可以教學內容與實際應用相結合。讓同學分組講解內容，在課題選擇時要有針對性。比如對于運籌方向的同學，可能對圖論中涉及到的一些算法比較感興趣，所以可以分配最短路算法、最大匹配算法等算法方面的內容；對于優化方向的同學，可以自學網絡優化方面的內容，再講給大家聽。這樣既可以提高他們的積極性，也便于學以致用。同時注重教學與實際相結合，培養同學發現問題的能力。將實際問題轉化為數學模型，并用數學模型解決是圖論的應用之一，培養同學建模能力。

四、結束語

研究生學習階段，是一個深度學習的階段。它在學習內容、學習方法、培養模式等方面跟本科生階段都有很大的不同。研究生的圖論教學，有其特殊的地方，如何結合研究生的特點更好的設計教學方法，提高教學效果，需要我們進一步探索和討論。

參考文獻

[1]Douglas B. West，圖論導引（第2版）[M]，北京：機械工業出版社，2006.

[2]J.A.邦迪，U.S.R.莫蒂，圖論及其應用[M]，北京：科學出版社，1984.

[3]張清華，圖論及其應用[M]，北京：清華大學出版社，2013.

[4]羅文昌，關于圖論教學的一些有益嘗試[J]，大學數學，2014年12月，第A01期.

作者簡介：沈健，1981年11月，男，漢族，籍貫：江蘇省蘇州市，研究生學歷，講師，應用數學，研究方向：圖論，單位：杭州電子科技大學。