基于新的區間二型模糊相似測度的多屬性群決策方法

李洪巖，陳華友，周禮剛

（1.安徽交通職業技術學院 土木工程系，合肥 230051；2.安徽大學 數學科學學院，合肥 230601）

0 引言

在實際的決策問題中，由于人類思維的模糊性和客觀事物的復雜性，例如人們在對評價汽車性能的時候，更傾向于使用“優”、“中等”、“差”等模糊的語言，因此，對基于模糊語言的群決策方法的研究具有重要的理論意義和實用價值。為了用模糊語言來表示決策信息，基于模糊語言標度的二型模糊集顯示出其優勢[1]。Zadeh在1975年提出二型模糊集的概念[1]，并將二型模糊集視為傳統一型模糊集的拓展。和一型模糊集相比，二型模糊集能夠更好地處理帶有不精確信息的決策問題，因此被用于信息融合[2]、圖像識別[3]、詞計算[4]等諸多領域。作為二型模糊集最有效的簡化形式，區間二型模糊數具有相對的簡便性[5]，同時因為比一般模糊數包含了更多自由度，所以能夠有效地表達模糊的語言評價信息，因此區間二型模糊數被廣泛應用于群決策問題[6-11]。

另一方面，針對基于區間二型梯形模糊多屬性群決策問題中專家權重和屬性權重的確定方法研究則不多，文獻[12]提出了一種基于加權幾何集結算子的區間二型梯形模糊的多屬性決策方法，文獻[13]提出了一種基于區間二型模糊dependent有序加權平均算子和區間二型模糊power平均算子的多屬性決策方法，同時提出一種區間二型模糊相似測度，用以構建專家權重和屬性權重。但是上述方法均未考慮專家權重和屬性權重均為區間二型梯形模糊數的情形，因此，本文在文獻[10]區間二型模糊數的上、下隸屬度函數可能度的基礎上，并基于文獻[11]構建了一種區間二型模糊離散度概念，提出一種新的區間二型模糊相似測度。同時基于區間二型模糊相似測度分別構建了專家權重和屬性權重部分已知情況下區間二型梯形模糊數專家權重和屬性權重確定模型，給出了基于新的區間二型梯形模糊相似測度模糊多屬性群決策方法。

1 區間二型模糊數的概念及運算

定義 1[5]：模糊集：

稱為二型模糊集，U為?的論域，μA?是?的二型隸屬度函數。二型模糊集?還可表示為u)/(x，u),其中Jx?[0，1]。

定義2[5]：設?為論域U上的二型模糊集，μA?為其二型隸屬度函數，若μA?(x，u)=1，則稱為區間二型模糊集。

定義3[13]：區間二型模糊數可表示為：

為了對區間二型模糊數進行大小的比較，Wu和Mendel提出了一種形心法。令分別表示區間二型模糊數?的形心，若

圖1 區間二型模糊數

（1）加法運算：

（2）乘法運算：

（3）數乘運算 (λ＞0)：

（6）方冪運算(λ＞0)：

在語言模糊決策中，為了對決策信息進行有效集結，文獻[14]基于EKM算法[15]提出了一種區間分析方法，將語言決策信息轉化為區間二型模糊數，得到不同語言標度集的語言評價轉化值。例如，表1給出了一種含9個語言評價術語的標度集及對應的區間二型模糊數[13]。

表1 9個語言術語與區間二型模糊數的對應關系

2 新的區間二型模糊數的相似度的概念及其性質

文獻[10]針對區間二型模糊數的上、下隸屬度函數，提出了上、下隸屬度比較的可能度的概念。

文獻[10]將上、下隸屬度函數的可能度進行綜合來對區間二型模糊數比較大小，則稱：

q值越大，對應的區間二型模糊數就越大。

顯然，利用定義6和性質2可得區間二型模糊數?與的相似度滿足下列性質：

顯然，利用定義7和性質3可得區間二型模糊決策矩陣的相似度S(?，?)滿足下列性質：

性質4：設S?，?)為?與?的相似度，則：

3 基于區間二型模糊相似度的群決策專家和屬性權重確定的最優化模型

考慮多屬性群決策問題，設有m個方案x1，x2，…，xm，n個屬性c1，c2，…，cn，K個決策者d1，d2，…，dK；決策者的權重向量為為 區 間二型模糊數，設?滿足部分權重信息的集合為H；決策者dk針對n個屬性對m個方案進行評價，得到語言決策矩陣經過表1轉化為區間二型模糊矩陣設專家矩陣經過下式集成為綜合區間二型模糊矩陣

則基于區間二型模糊相似度的群決策專家權重確定模型可表示為：

模型(M-1)中，目標函數可看成區間二型模糊相似度的平均值，約束條件的第一行為區間二型模糊數的上、下隸屬度函數需要滿足的坐標條件，約束條件的第二行來自于文獻[17]，約束條件的第三行是為了保證下隸屬度函數始終位于上隸屬度函數的下方用直線的斜率表示的不等式組，約束條件的第四行為部分權重信息集合H，以及上下隸屬度函數的最大值的關系。

類似的，可以討論基于區間二型模糊相似度的屬性權重確定模型。

根據式（15）得到的綜合區間二型模糊矩陣，設屬性權重向量為為區間二型模糊數，同樣滿足部分權重信息。設綜合區間二型模糊決策矩陣經過下式得到綜合方案屬性值：

則基于區間二型模糊相似度的屬性權重確定模型可表示為：

模型(M-2)和模型(M-1)相似，可直接求解得到屬性權重向量?。

4 基于新的區間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法

基于新的區間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法步驟如下：

第1步：決策者dk針對n個屬性對m個方案進行評價，得到語言決策矩陣

第7步：利用式（10）和式（11）對?進行排序，并選出最優方案；

第8步：結束。

5 案例分析

考慮一個投資決策問題，某投資公司需要做一個企業項目投資，備選企業為：x1為汽車企業；x2為食品企業；x3為計算機企業；x4為軍工企業。該投資公司主要從下述三個方面來對備選企業進行評估：c1為企業風險分析；c2為企業發展分析；c3為企業的社會政治影響分析。現有三個決策者，針對上述三個方面對四個備選企業利用下面的語言標度集來進行評估：

得到決策矩陣R(k)（k=1，2，3），如表2至表4所示。

表2 決策矩陣R(1)

表3 決策矩陣R(2)

表4 決策矩陣R(3)

基于新的區間二型模糊相似度的模糊多屬性群決策方法步驟計算后，結果顯示：

故有p2＞p4＞p1＞p3，即有x2?x4?x1?x3，因此食品企業為最佳投資企業。

與文獻[13]相比較而言，本文定義的區間二型模糊相似測度是基于上下隸屬度函數比較大小的可能度，而文獻[13]提出的相似測度則是基于普通的距離測度，另外，本文基于新的區間二型模糊相似測度構建模型確定群決策專家權重和屬性權重，且權重均為區間二型模糊數，這樣更能體現出決策的合理性。

6 結束語

本文基于區間二型模糊數的可能度定義了一種新的區間二型模糊型相似測度，討論了其性質，并基于該區間二型模糊相似測度構建了群決策專家權重確定模型和屬性權重確定模型，且得到的專家權重和屬性權重均為區間二型模糊數，同時提出了一種基于新的區間二型模糊相似測度的模糊多屬性群決策方法，并通過投資選擇群決策驗證該方法的合理性和有效性。