局部(弱)緊性的理想收斂刻畫

王 波,施慧華,孟慶豐

(華僑大學數學科學學院,福建泉州362021)

1 預備知識

本文中的主要工作是把理想收斂這一工具應用到Banach空間的研究中，利用序列的(弱)極大理想的收斂性來刻畫集合的局部(弱)緊性等.

現將常見符號約定如下：N表示自然數集，R表示實數集，X為Banach空間，B(x0,r)表示閉球(即B(x0,r)={x:‖x-x0‖≤r})，Bo(x0,r)表示開球.特別地，B(0,1)=BX為X的單位球.

定義1對自然數集N，稱?2N為N的一個理想，如果滿足：

(i) 如果D?E且E∈，則D∈(遺傳性)；

(ii) 如果D,E∈，則D∪E∈(有限并運算的封閉性).

定義2對Banach空間X中的序列|xn}及x∈X，記

A(ε)={n∈N:‖xn-x‖≥ε}, ?ε>0.

(i) 稱{xn}-收斂于x(或xnx),若任意的ε>0，有A(ε)∈;

(ii) 稱{xn}w--收斂于x，若每個x*∈X*，有{x*(xn)}-收斂于x*(x).

定義3稱Banach空間X中的集合C是局部緊集(相應地，局部弱緊集)，如果對任意的c∈C，都存在δ>0，使得C∩{x∈X:‖x-c‖≤δ}是緊集(相應地，弱緊集).

引理1[15]設X是Banach空間，C?X是非空閉凸集，則以下結論等價：

(i)C是局部緊集(相應地，局部弱緊集)；

(ii)C∩rBX是緊集(相應地，弱緊集)，對任意的r>0;

(iii)C∩B(x0,r0)是緊集(相應地，弱緊集)，對某個x0∈C及r0>0;

引理2(James定理) 設B為Banach空間X中的有界弱閉集，則B是弱緊當且僅當每個x*∈X*在B上達到其上確界.

2 主要定理及其證明

定理1設是非平凡極大的可容理想，X是Banach空間，非空閉凸集C?X.則C是局部緊?對任意有界序列{xn}?C，{xn}-收斂于C中的元．

因N1?，故存在某k∈N使得

歸納地,可得一列遞減的緊集序列{Ak}，滿足diam(Ak)≤21-k，同時得到N的子集序列{Nk}，有

Nk?, ?k∈N.

實際上,對任意的ε>0，取充分大的k，使得Ak?Bo(x,ε)，即

Nk?{n∈N:‖xn-x‖<ε}.

由Nk?，可得{n∈N:‖xn-x‖<ε}?.由理想的極大性知

{n∈N:‖xn-x‖≥ε}∈.

推論1設是非平凡極大的可容理想，則Banach空間的非空子集C是緊集?對任意序列{xn}?C，{xn}-收斂于C中的元.

證明證明方法類似定理1.

推論2設是非平凡極大的可容理想，則Banach空間的非空子集C是相對緊?對任意序列{xn}?C，有{xn}-收斂.

‖yn-x‖≤‖yn-xn‖+‖xn-x‖≤

因此

{n∈N:‖xn-x‖<ε}?{1,2,…,n0}∪{n∈

N:‖yn-x‖<2ε}.

故可得

{1, 2,…,n0}∪{n∈N:‖yn-x‖<2ε}∈

{n∈N:n>n0}∩({1,2,…,n0}∪{n∈N:

‖yn-x‖<2ε})={n>n0:‖yn-x‖<2ε}∈

進一步

即

{n∈N:‖yn-x‖≥2ε}∈.

從而

定理2設是非平凡極大的可容理想，X是Banach空間，C?X是非空閉凸集，則C是局部弱緊?C中任意有界序列{xn}都w--收斂于C中的元.

證明充分性.任取r>0，記C1=C∩rBX，則C1是有界閉凸集.因此每個

且存在{xn}?C1，使得

由假設知,{xn}w--收斂于x∈C1.因此

則存在{xn}的子列{xnk}，使得

〈x*,xnk〉→〈x*,x〉，

即

由James定理可得C1為弱緊集，故C是局部弱緊.

必要性.設任意有界序列{xn}?C，則存在r>0，使得{xn}?C∩rBX.結合引理1知C1≡C∩rBX是弱緊集.對任意的x*∈X*，{〈x*,xn〉}有界.則由推論1知存在.令

T(x*)=-lim〈x*,xn〉， ?x*∈X*.

下證T∈X**.設x*,y*∈X*及數a,b∈R，則

T(ax*+by*)=-lim〈ax*+by*,xn〉=

a(-lim〈x*,xn〉)+b(-lim〈y*,xn〉)=

aT(x*)+bT(y*),

所以T是X*上的線性泛函.此外，記

則對任意的n∈N，任意的x*∈X*，

|〈x*,xn〉|≤K‖x*‖.

因此

T(x*)≤K‖x*‖，

從而

T∈X**.

有

?k=1,2,…,m.

則

即

由T的定義，可得

w--limxn=T，

定理得證.

推論3設理想是非平凡極大的可容理想，則Banach空間X的非空有界弱閉子集C是弱緊?C中的任意序列{xn}都w--收斂于C中的元.

推論4設理想是非平凡極大的可容理想，則Banach空間X是自反空間?X中每個有界序列都w--收斂.