自抗擾控制技術的改進和應用

李家豪，孫洪飛

(廈門大學航空航天學院，福建廈門361005)

自抗擾控制[1](active disturbance rejection control, ADRC)技術吸取了PID算法的優點，采用基于誤差消除誤差的思想，利用非線性反饋提高控制器效率．該控制方法將系統內部擾動、外部干擾、系統未建模動態以及其他影響視為“總和擾動”，通過擴張狀態觀測器(extended state observer, ESO)對其進行實時估計和補償．ADRC不需要精確的數學模型，只需利用誤差反饋進行控制．但傳統ADRC方法也存在一定的缺陷，例如：一般僅要求ESO漸近穩定，收斂速度有提升的空間；針對快時變干擾的估計能力不足；對干擾估計的精度有限；需要選取的參數過多，并且沒有實用的參數整定方法等等．

針對傳統ADRC方法存在的問題很多學者進行了一定程度的改進．Gao[2]提出了線性ADRC方法，引入“帶寬”的概念，將ESO的非線性形式線性化和參數化，減少了參數數量并且賦予參數明確的物理意義，同時給出了參數的整定方法，便于實際應用．吳云潔等[3]將變結構控制的理論引入到自抗擾算法中的ESO的設計中，在保證原控制器優點的同時減少了可調參數；李大宇，邵星靈等[4-5]學者通過構造高階ESO，獲取更多的系統信息，提高了對“總和擾動”的觀測精度．邱搏博，齊乃明等[6-7]通過重新構造ESO和非線性誤差反饋中的非線性函數，避免了在傳統ADRC中非光滑函數易引起高頻顫振現象的發生．

Levant等[8-9]提出的高階滑模觀測器吸納了滑模變結構魯棒性強、精度高、有限時間收斂等特點，對高頻干擾具有很好的觀測效果，同時設計滿足分離原理的條件．為有效提高ADRC對系統外部擾動和內部參數不確定等因素的適應能力，本文中引入高階滑模觀測器，替代ESO對系統所受“總和擾動”進行觀測，提高擾動估計精度．

1 ADRC基本原理

ADRC是在經典PID控制技術的基礎上，利用現代控制理論，運用計算機仿真實驗結果歸納和綜合中探索出來的，是不依賴于被控對象精確模型的、能夠替代PID控制技術的、新型的實用數字控制技術[10]．ADRC由跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)、ESO和非線性狀態誤差反饋律(nonlinear state error feedback, NLSEF)三部分構成．

設有未知外擾作用的不確定單輸入單輸出受控對象：

(1)

圖1 ADRC結構圖Fig.1 The structure of ADRC

ADRC利用TD為指令輸入安排過渡過程，得到柔化后的輸入信號，提高控制器的魯棒性，并提取其微分信號；利用ESO不僅能估計出系統的狀態量，還能實時估計由于模型不確定引起的內部擾動和環境引起的外部擾動等構成的“總和擾動”；應用NLSEF將TD的輸出與系統狀態估計值之間的誤差通過非線性組合構成初始的控制量；加入對ESO估計出的“總和擾動”的補償，得到最終的控制量．

ESO是整個ADRC方法的核心，作為一個動態過程，它只用了原對象的“輸入—輸出”信息，沒有用到描述對象傳遞關系的函數的其他信息，其結構如圖2所示．

圖2 ESO結構圖Fig.2 The structure of ESO

當系統存在不確定性和外部擾動時，通過ESO能夠將“總和擾動”的實時值估計出來，并在后續控制中給予補償．也正是因為ESO可以實現“模型和未知外擾補償”，使得其在不確定受控對象控制器設計中得到廣泛應用．但是傳統ESO為李雅普諾夫意義下的漸近穩定，收斂速度無法保證，尤其在應對快時變干擾時不能快速地實現狀態和誤差的估計．因此在應對諸如飛行器等需要快速抵消擾動的系統時，不能滿足系統快速反應的要求．

2 ADRC技術的改進

針對傳統ADRC中ESO漸近穩定、收斂速度不能保證的缺點，本文中引入魯棒性更強、精度更高、跟蹤速度更快的高階滑模觀測器代替ESO對ADRC進行改進．

(2)

假定系統輸出值y和控制輸入u實時可測，未知總和擾動項f(x1,x2,…，xn,ω(t))利普希茨連續，且其利普希茨常數L>0已知，則高階滑模觀測器形式如下[11]：

(3)

引理1[11]若高階滑模觀測器的參數λi取適當值且系統輸出信號y(t)和輸入信號u(t)有界并且是勒貝格可測的，則在不存在測量噪聲的情況下，在有限時間內，如下等式成立：

(4)

注1參數λi可以采用遞歸的方法來選取，若n=k時選定參數λ1,…,λk，則當n=k+1時可用作λ2,…,λk+1，即僅需設計選取新的λ1.文獻[8]中提供了一組經仿真驗證有效的λi,(i=1,2，…,6)的參考取值：λ1=8，λ2=5，λ3=3，λ4=2，λ5=1.5，λ6=1.1.

引理2[11]若輸出信號y(t)和輸入信號u(t)帶有有界勒貝格可測噪聲，兩者所受到的勒貝格可測噪聲范圍為：[-ε,ε]和[-kε(n-1)/n,kε(n-1)/n],k>0，則在有限時間內，如下不等式成立：

(5)

其中正常數μi唯一取決于k和觀測器參數λi.

高階滑模觀測器基于精確魯棒微分器設計，在初始誤差較小的情況下，能夠保證有限時間收斂性和自動提供最優的漸近精度[12]．

引入高階滑模觀測器對ADRC進行改進，即將傳統ESO對系統內部狀態和“總和擾動”的觀測作用，利用收斂速度更快且精度更高的高階滑模觀測器代替，進一步提高控制器對“總和擾動”的估計精度和跟蹤速度．引入高階滑模觀測器改進后的ADRC結構圖如圖3．

圖3 改進后的ADRC結構圖Fig.3 The structure of the improved ADRC

3 改進的ADRC在四旋翼飛行器控制上的應用

在四旋翼飛行器姿態小角度變化的情況下，忽略機體坐標系下三軸角速度與歐拉角速率的差異；忽略旋翼重心至機體重心的垂直距離；忽略風的干擾，不計空氣摩擦；假設飛行器質量分布均勻，重心位于機體幾何中心．記在地面坐標系下四旋翼飛行器中心相對原點的坐標為[x,y,z]，歐拉角為[φ,θ,ψ]，則根據牛頓-歐拉方程可得系統的數學模型為[13-14]：

(6)

式中，m為飛行器質量，g為重力加速度，l為旋翼重心到機體重心的距離，[Jx,Jy,Jz]為飛行器繞3個機體軸的轉動慣量，jr為電機和旋翼的轉動慣量，U1～U4分別為高度通道、滾轉通道、俯仰通道、偏航通道的控制輸入，其值分別為：

(7)

式中，Ωi(i=1,2,3,4)為各旋翼轉速，b為旋翼升力系數，d為反扭矩系數.

從上述模型中可以看出，四旋翼滾轉、俯仰和偏航3個姿態通道以及高度通道之間相互耦合，本文中通過引入估計魯棒性更強且具有有限時間穩定性的高階滑模觀測器對系統各狀態和“總和擾動”進行估計，并對“總和擾動”進行補償．進而每個控制通道由原來的非線性、不確定對象變為積分串聯型線性系統，實現了各通道的解耦控制，將系統分為4個獨立的控制通道：高度通道、俯仰通道、滾轉通道和偏航通道，系統結構圖如圖4所示．

圖4 基于ADRC的控制系統結構Fig.4 The structure of control system based on ADRC

為便于闡述控制策略，將四旋翼姿態系統模型寫成與ADRC理論相對應的形式：

(8)

式中fi(·)(i=1,2,3,4)為各通道所受“總和擾動”，為內部擾動．

ADRC以及高階滑模觀測器的設計完全滿足分離性原理，即四旋翼姿態控制系統可以每個控制通道分別獨立設計TD、高階滑模觀測器和NLSEF．下面以俯仰通道為例，給出俯仰通道完整控制算法．

被控對象

(9)

1) TD安排過渡過程

(10)

式中：θd為俯仰通道指令輸入，θd1為指令輸入跟蹤信號，θd2為θd1的微分信號，r為速度因子，h為積分步長，以及最速控制綜合函數：

(11)

2) 高階滑模觀測器估計狀態和“總和擾動”

(12)

3) 擾動補償與控制量形成

(13)

其中

(14)

高度通道、滾轉通道以及偏航通道控制器設計與俯仰通道類似．

4 數值仿真及結果分析

四旋翼飛行器仿真模型采用式(6)，考慮數學模型、ADRC部件以及高階滑模觀測器運算較為復雜，本文中采用S-函數編輯各重要模塊，基于MATLAB/Simulink模塊建立系統仿真模型，仿真采樣周期取h=0.01 s． 本文中選取的四旋翼飛行器仿真參數和控制器參數見表1和2．

表1 四旋翼飛行器仿真參數

表2 控制器設計參數

1) 姿態角跟蹤實驗

假設四旋翼飛行器三個姿態角初始值分別為φ0=5°，θ0=5°，ψ0=10°，初始高度為0 m，在初始時刻給出目標指令φd=30°，θd=10°，ψd=15°，控制飛行器在2 m高度實現姿態穩定．為體現引入高階滑模觀測器改進后的ADRC相對傳統ADRC的控制效果差異，仿真過程加入了與傳統ADRC控制器控制效果的對比．仿真效果如圖5所示．

從圖5可以看出引入高階滑模觀測器改進傳統自抗擾方法所設計的控制器的姿態角以及高度跟蹤響應曲線能夠很好地跟蹤給定期望信號．在TD安排的過渡過程完全相同的情況下，相比傳統ADRC，改進后的控制器能夠以稍快的速度跟蹤給定信號．由于TD的柔化作用，指令信號經安排過渡過程后均由“0”值光滑過渡到給定值，這也是仿真開始階段角度有歸“0”走勢的原因．當3個姿態角同時發生變化時，由于四旋翼姿態角通道之間的強耦合，3個通道之間會有相互的影響，通過引入高階滑模觀測器將這些影響視為系統內部擾動并實時觀測補償，使得姿態角通道之間的相互影響得以消除．

圖6給出定高2 m姿態角跟蹤過程中的控制力變化曲線，改進前后兩種控制器產生的控制力差別不大，均能保證飛行器以較高的精度飛行．這表明，當不考慮外部擾動時，兩類ADRC均能及時估計并補償系統參數攝動所引起的“總和擾動”．

圖5 姿態角跟蹤實驗姿態角和高度響應曲線Fig.5 Attitude angle and height response curves in the attitude angle tracking experiment

圖6 姿態角跟蹤實驗控制力曲線Fig.6 Control force curves of attitude angle tracking experiment

2) 抗擾性能測試

定高姿態角跟蹤實驗僅僅體現出了改進后的ADRC相對傳統ADRC具有更快的響應速度，并未體現出較大的改進效果．為驗證改進后的控制器的抗干擾能力的提升效果，在四旋翼定點懸停狀態下，分別在3個姿態角通道中加入高斯白噪聲來模擬傳感器噪聲，同時考慮姿態角受到外部突發干擾的情況，在2～6 s內加入幅值為0.05 N·m，頻率為1 Hz的方波信號來模擬陣風干擾，外部擾動信號如圖7所示．

圖7 外部擾動信號Fig.7 Curve of the external disturbance

在此干擾信號作用下四旋翼姿態輸出曲線如圖8所示．

圖8 抗擾能力實驗響應曲線Fig.8 Response curves of disturbance resistance test

由圖7和8可以看出，在存在外部擾動的情況下，引入高階滑模觀測器改進后的ADRC和傳統的ADRC都能夠在一定程度上抑制擾動．但在應對快變擾動時，引入高級滑模觀測器改進的ADRC展現出了更強的魯棒性能．

仿真過程中傳統ESO與高階滑模觀測器對“總和擾動”的估計效果對比如圖9所示．

圖9 高階滑模觀測器與ESO估計“總和擾動”效果對比Fig.9 Estimation of "total disturbance" by high order sliding mode observer and extended state observer

由圖9可知，在相同外部擾動信號的作用下，高階滑模觀測器相比傳統ESO能夠更快更精確地跟蹤各通道的“總和擾動”，因此改進后的ADRC相比傳統ADRC表現出來更好的控制效果，而這歸根結底是因為高階滑模觀測器的有限時間穩定特點，使其在應對快時變擾動時具有更快的跟蹤速率．

抗擾能力實驗控制力曲線對比如圖10所示．

圖10 抗擾能力實驗控制力曲線Fig.10Control force curve of disturbance resistance test

由圖10可以看出，當四旋翼姿態控制系統受到外部干擾作用時，改進后的ADRC相比傳統ADRC能夠產生更加穩定有效的控制力，這也同樣是因為高階滑模觀測器有限時間穩定的優點，使其對快變擾動較傳統ESO更為敏感，從而使得控制器反應更迅速．

5 結 論

本文中引入高階滑模觀測器代替傳統自抗擾算法中的ESO對自抗擾算法進行了改進，提高了傳統自抗擾算法對擾動的估計速度和精度．基于四旋翼飛行器針對該飛行器非線性、強耦合、對外部干擾敏感等特點，應用引入高階滑模觀測器改進后的自抗擾算法設計了姿態控制系統，通過仿真驗證表明應用改進后的ADRC所設計的四旋翼姿態控制系統具有良好的跟蹤性能、抗干擾能力和魯棒性能．