圓柱狀透鏡的趣味實驗原理分析

廖永容 楊曉梅 肖 瑜

(寧夏大學物理與電子電氣工程學院,寧夏 銀川 750021)

本文從生活中一種常見的光現象出發,設計了透過裝有飽和食鹽水的圓柱形塑料水杯觀察白色紙片上“單詞”的變化情況的小實驗,測量了紙片上的“單詞變身”時白色紙片、觀察者和圓柱形水杯杯壁之間的多組位置關系．并根據厚透鏡的物像公式和基點計算出了圓柱透鏡垂直于軸方向截面的主點、節點與圓心O3點重合,通過透鏡物像公式從理論上計算出了半徑為7cm折射率為1.5的圓柱形透鏡的成像范圍,分析了所成的像的變化特點．通過分析實驗數據發現,實驗觀察到的像的變化特點、物與杯壁之間的位置關系和觀察者與杯壁之間的位置關系符合理論分析的成像范圍和成像特點．運用實驗數據的真實性和理論探究的合理性,驗證了單詞“變身”實驗現象的光學原理．此外,實驗還進一步分析論證了在杯子中換密度不同的液體(清水、飽和糖水等)時由于折射率相差不大,所以圓柱透鏡所成的像的變化特點和成像范圍差異不大．

1 現象描述

實驗器材如表1所示.

表1 觀察光現象的自組器材

實驗步驟1:將白色紙片貼于支架上,把塑料杯放在支架的正前方,觀察者于實驗臺前透過塑料杯平視前方調整紙片和塑料杯的位置,使字母和玻璃杯的幾何中心與觀察者的視線位于同一條直線上,如圖1所示．

圖1 加水前的英文單詞

圖2 加水后的英文單詞

實驗步驟2:向塑料杯中加飽和食鹽水,水的高度高過紙片即可,觀察者于實驗臺前透過塑料杯平視前方以同樣的方法觀察,發現單詞由now變成了won,且被放大了,此時紙片與杯壁之間的距離為8 cm,眼睛與杯壁之間的水平距離為16.2 cm,如圖2所示．

實驗步驟3:保持字母與塑料杯的幾何中心位于同一條直線上,將紙片移動到距離杯壁10.5 cm的地方,發現單詞由now變成了won,大小幾乎不變,此時眼睛與杯壁之間的水平距離為11 cm．將紙片移動到距離杯壁20 cm的地方,發現單詞由now變成了won且縮小了,此時眼睛與杯壁之間的水平距離為7.5 cm．將紙片移動到距離杯壁5.5 cm左右的地方,觀察者在任何位置都看不清單詞了,當將紙片移動到距離杯壁更近的位置時可以觀察到一個清晰放大的單詞now．

2 原理分析

透鏡的形狀是圓柱體或透鏡的表面是圓柱面的一部分,這種透鏡就叫做圓柱透鏡．對于任意一塊處于空氣中的圓柱形透鏡,圓柱體的對稱軸就是圓柱透鏡的軸,分析時取圓柱體垂直于對稱軸的一個截面,該截面是一個以O為圓心,半徑為R的圓面．根據高斯基點理論,求出處于空氣中的半徑為R,折射率為n的圓面的焦距和主點的位置．

假設光從左向右入射,由于r1=R,r2=-R,δ=2R,根據公式

(1)

可以得到圓面的像方焦距為

(2)

結合主點與頂點間距離的公式

(3)

和

(4)

可得p=R,p′=-R.

結果表明圓柱透鏡的物方主點H在頂點O1的右邊R處,而像方主點H′在頂點O2的左邊R處,顯然兩主點重合且通過圓心O,如圖3所示．

圖3 主點、節點與圓心O重合

系統的節點是角放大率為γ=1的一對共軛光線與主軸的交點．設物方節點K到物方焦點F的距離為xK,像方節點K′到像方焦點F′的距離為xK′,根據平面節點定義,若將這對節點看作一對特殊的共軛物像點,則xK和xK′分別可視為相應的物距和像距．根據公式

(5)

可得xK=-f,xK′=-f′.

根據圓面的對稱性知f=-f′結合(2)式得出

由此可知圓柱透鏡垂直于軸截面的主點、節點和圓心3點重合,即任意垂直于圓柱透鏡的軸且過截面圓心O的光線方向不發生改變．

空氣的折射率為1,飽和食鹽水的折射率為n(n=1.5),實驗所用透明塑料杯的折射率為1.52．由于塑料杯的折射率與水的折射率只相差0.02,且杯壁厚度0.8 mm與杯子的直徑7 cm相比太小,光線在水中走的路程遠大于在杯壁中走過的路程．此外,曲面塑料杯壁在很小的范圍內可近似的看做平行塑料板,對光線只產生平移作用．所以分析時可以忽略塑料杯與飽和食鹽水折射率不同的影響(其實即使考慮其影響,結論也還是一樣)．

在向杯中注滿飽和食鹽水后,可將杯和飽和食鹽水整體看作一個底面半徑為3.5 cm,折射率均勻且大小為1.5的圓柱透鏡．對置于空氣中的半徑為R=3.5 cm的圓柱透鏡,同樣取垂直于軸方向的截面分析,F和F′分別為物方焦點和像方焦點,根據(6)式可得出該截面的物方焦距和像方焦距分別為f=-5.25 cm,f′=5.25 cm．

圖4 物AB反向縮小

當s=2f,即s=-10.5時,s′=10.5,物AB發出的光經圓柱透鏡兩次折射后成倒立等大的實像A′B′,如圖5所示．

圖5 物AB反向等大

當2f10.5,物AB發出的光經圓柱透鏡兩次折射后成倒立放大的實像A′B′,如圖6所示．

圖6 物AB反向放大

當s=f,即s=-5.25時,s′=+∞,物AB發出的光經圓柱透鏡兩次折射后光線平行射出不成像,如圖7所示．

圖7 物距等于物方焦距時不成像

當f

圖8 物距小于物方焦距時成虛像

物距像距像的性質放大或縮小倒立或正立實像或虛像 s<2f(s<-10.5)f′2f′(s′>10.5)放大倒立實像s=f(s=-5.25)s′=+∞不成像 f

人眼能夠看見物體,是因為照射在物體上的光線反射到了人眼中,由物體反射的光線經過圓柱透鏡后會在特定的位置匯聚成像,當人眼在光線匯聚的位置附近透過圓柱透鏡觀察時便能看見像了．通過以上計算可知當物體在O1點左側的距離發生變化時,像的性質也隨之發生變化,下面將圓柱透鏡垂直于軸方向截面的成像規律進行總結并做成圖表形式,具體如表2.

3 實驗拓展

本實驗還另外設計了兩種情況:采用密度不同的液體(清水與飽和白糖水)以探究這種圓柱狀透鏡的成像規律是否會受到杯中液體的密度不同的影響．理論分析:實驗時在塑料杯中換不同密度的液體相當于改變透鏡的折射率,選用折射率為1.33的水和折射率為1.4的飽和白糖水進行驗證,計算得出使用清水和飽和白糖水與使用飽和食鹽水時,若取物距相同且成像性質相同的位置,則像距的之差約在1.75～3.6 cm之間．然后用實驗驗證:用清水和飽和白糖水進行實驗觀察得到的像的變化特點、物與塑料杯壁之間的位置關系和觀察者與塑料杯壁之間的位置關系差異不大,由此再次驗證了理論計算的合理性.

4 結束語

物理教學的目的是不僅要學生在學習物理知識的過程中逐漸形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力,更要學生在經歷與科學家們探索科學知識相似的過程中,培養學生對科學知識的熱愛,探索科學知識的精神．通過本次對裝有飽和食鹽水的水杯圓柱透鏡的成像規律分析,希望鼓勵學生對生活中常見的現象和問題能勇于探索,勤于實踐,以提高學生的自主創新意識,發展學生的自主學習能力和獨立研究能力．