一道均質鏈繩問題的多樣化思路教學

陳 輝

(永康市第一中學,浙江 金華 321300)

在物理中有一類細線和輕繩,材質柔軟質量不能忽略,均勻分布,這樣的模型叫均質鏈繩.與鏈繩有關的靜力學、動力學問題是高中物理競賽重點考察內容之一,題設非常簡潔,又能很好地考察學生運用數學解決物理問題的綜合能力,鏈繩問題與高考題型截然不同,用常規解題思路難以入手.在重視物理核心素養的教學背景下,中學物理教學應有意識地多角度分析問題,歸納比較形成一套思想方法體系,培養學生學習興趣,調動學習積極性,思維靈活性、創造性.[1]本文通過一道經典均質鏈繩競賽題的多樣化思路教學探索培養學生優秀思維品質的教學途徑.

圖1 均質鏈繩

均勻不可伸長的繩子如圖1,兩端懸掛在A、B兩點,B比A高h.在A點繩子張力為TA,繩子的質量為m,繩長為l.

(1) 求B點繩子的張力;

(2) 假設有一根與AB繩一樣形狀的光滑彎曲管道,繩恰好鋪在整根管道中,A、B兩端用手拉住,求放手瞬間繩子的加速度大小.

1 靜力學分析

圖2 等效建模

求B點繩子張力是一個靜力學問題,可分別運用微元積累、補償法、虛功原理3種思想方法.

1.1 微元積累

圖3 受力分析

每段繩子沿x正方向的拉力比負方向的拉力大ΔT,因為α→0、β→0,Ti+1cosα≈Ti+1,Ticosβ≈Ti,所以ΔT=Ti+1-Ti=Δmgsinθi,兩邊累加可得

B、A′張力差值為∑ΔT=TB-TA′,∑Δxsinθi是該段繩Δx在豎直方向上的投影，∑Δxsinθi=∑Δhi=h,整理得

圖4 等效建模

1.2 補償法

補償法指對原模型進行填補,然后對填補部分進行分析,以達簡化問題的方法.

用長為L的光滑斜面放在A、B兩點,加段直繩沿著斜面將原來繩子接通,如圖4.原鏈繩與直繩整體處于平衡狀態,A、B兩點相當于架設兩個定滑輪,直繩兩端張力分別等于鏈繩兩端張力大小.

1.3 虛功原理

本題也可用虛功原理求解,虛功原理∑Fiδri=0,表示物體在力系作用下處于平衡狀態,若由于其他原因使物體產生符合約束條件的連續微小虛位移δri,則所有主動力(外力和內力)在虛位移上所做的虛功為零.這是由伯努力1717年提出的,到1764年拉格朗日進一步完善.[1]由于高中生已接觸一些基礎的導數和微積分思想,在中學教學中滲透虛功原理思想是可行的.

圖5 微小虛位移

2 動力學分析

3 方法比較評析

牛頓定律及在此基礎上的理論為牛頓力學(也稱矢量力學),拉格朗日方程及此理論基礎上的理論為拉格朗日力學(也稱分析力學),[2]下面對4類不同教學思路比較評析.

(1) 解法1是牛頓力學法,原則上所有的靜力學問題都可由此方法解決．本題研究對象為曲線,若用常規解法學生還不具備高等數學水平,找不準重心位置、算不出角度大小,無從下手.“微元積累”思路上雖可行,但需畫出復雜受力圖，列方程組,數形結合能力要求高,只適合少數高水平學生.

(2) 解法2采用補償法,實現模型等效轉換,將模型化曲為直,化陌生為熟悉,運用基本方法即輕松解決,通俗易懂,此思路最妙,此法適合所有層次學生.

(3) 解法3虛功原理是分析力學中的重要方法,新穎獨特,學生感嘆有如此神奇的方法,腦洞大開,對啟發學生創造性思維作用顯著,解法1和解法3推薦給今后有物理研究方向的學生.

(4) 第(2)問求繩瞬時加速度采用功能關系同樣非常巧妙,和解法1比避開復雜作圖，列方程組,用功能關系列方程找出速度與微位移關系,間接求出了加速度,和解法3異曲同工.

(5) 解法3和第(2)問解法都用了圖5進行分析,難道思想方法相同嗎?虛功原理只適用處于平衡狀態的物體系,解法3可用.而求瞬時加速度是動力學問題,虛功原理顯然行不通,采用的是功能關系.功能關系既可用于靜力學問題,又可用于動力學問題,適用范圍更廣.

(6) 以上解法表明,當研究對象特殊,牛頓力學方法不可行時,學生應采用能量方法如虛功原理和功能關系.

4 多樣化教學啟示

對均質鏈繩這一類經典力學問題的分析,在習題教學中,要有意識地拓展分析思路與方法,不應局限于某種方法,舉一反三,在教學中拓展,引申如微元積累、補償法、虛功原理、功能關系等重要規律和方法輔助分析,可高效拓展學生的分析思維,激發學生學習的積極性,優化創造性思維品質,提高綜合運用知識的能力.