中心對(duì)稱型磁場(chǎng)中感生電場(chǎng)的探討

元 明

(遼寧省撫順市新賓滿族自治縣高級(jí)中學(xué),遼寧 撫順 113200)

本文從一道常見的感生電場(chǎng)問題切入,并加以拓展,以幫助學(xué)生們準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)感生電場(chǎng)的本質(zhì)．

1 問題切入

圖1

例題.如圖1所示內(nèi)壁光滑、水平放置的玻璃圓環(huán)內(nèi),有一直徑略小于環(huán)口徑的帶正電的小球,以速率v0沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng).若在此空間突然加上方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間成正比增加的變化磁場(chǎng),設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中小球帶電荷量不變,那么

(A) 小球?qū)ΣＡЛh(huán)的壓力一定不斷增大.

(B) 小球受到的磁場(chǎng)力一定不斷增大.

(C) 小球先沿逆時(shí)針方向減速運(yùn)動(dòng),過一段時(shí)間后沿順時(shí)針方向加速運(yùn)動(dòng).

(D) 磁場(chǎng)力對(duì)小球一直不做功.

本題正確答案(C)、(D)．

2 問題解析

如果磁場(chǎng)是中心對(duì)稱型磁場(chǎng),它的中心位置是否與圓環(huán)中心重合?筆者認(rèn)為,有以下3種可能性(俯視如圖2所示)．

圖2

(1) 如果磁場(chǎng)中心O′在圓環(huán)外,如圖2(甲)所示,由楞次定律可判斷渦旋電場(chǎng)E的方向?yàn)轫槙r(shí)針,則小球在圓環(huán)右側(cè)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),所受電場(chǎng)力F電與速度方向相反，小球減速； 同理，小球在圓環(huán)左側(cè)逆時(shí)針加速運(yùn)動(dòng).

在圓環(huán)上取一小段圓弧dl,圓弧dl與磁場(chǎng)中心O′所圍的面積為dS,兩端電勢(shì)差為dU,磁場(chǎng)在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E(R為圓環(huán)半徑,r為圓弧dl與磁場(chǎng)中心O′的距離)

(1)

(2)

其中負(fù)號(hào)表示E的方向沿順時(shí)針.

由式(1),可判斷小球逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),在圓環(huán)右側(cè)電場(chǎng)力做負(fù)功,左側(cè)電場(chǎng)力做正功,但電場(chǎng)力總功是負(fù)功．后順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),在圓環(huán)右側(cè)電場(chǎng)力做正功,左側(cè)電場(chǎng)力做負(fù)功,但電場(chǎng)力總功是正功．

(2) 如果磁場(chǎng)中心O′在圓環(huán)內(nèi),但不與圓環(huán)中心O重合,如圖2(乙)所示,同理,小球先逆時(shí)針做變減速圓周運(yùn)動(dòng),后順時(shí)針做變加速圓周運(yùn)動(dòng)．

(3) 如果磁場(chǎng)中心O′恰與圓環(huán)中心O重合,如圖2(丙)所示,則小球先逆時(shí)針做勻減速圓周運(yùn)動(dòng),后順時(shí)針做勻加速圓周運(yùn)動(dòng)．

由于高中階段的磁場(chǎng)默認(rèn)為中心對(duì)稱型磁場(chǎng),且其中心與圓環(huán)幾何中心重合[即情形(3)],故選(C)．

因?yàn)榇艌?chǎng)力不做功,故選(D)．

選項(xiàng)(A),玻璃環(huán)對(duì)小球的支持力FN有兩個(gè)分力:豎直分力F豎直和水平分力F水平．其中F豎直=mg,水平分力F水平與磁場(chǎng)力F=qvB的合力提供向心力．

情形(1)、(2)比較復(fù)雜,就不做詳細(xì)分析了．下面只討論情形(3)磁場(chǎng)中心O′恰與圓環(huán)中心O重合這種情況:小球先逆時(shí)針減速運(yùn)動(dòng),由左手定則判定磁場(chǎng)力沿半徑向外，

圖3

3 問題拓展

圖4

思考題.如圖4所示內(nèi)壁光滑、水平放置的玻璃圓環(huán)內(nèi),有一直徑略小于環(huán)口徑的帶正電的小球,以速率v0沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng).若僅在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)突然加上方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間均勻增加的變化磁場(chǎng),設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中小球帶電荷量不變,那么

(A) 小球?qū)ΣＡЛh(huán)的壓力一定先減小后增大.

(B) 小球受到的磁場(chǎng)力一定先減小后增大.

(C) 小球先沿逆時(shí)針方向減速運(yùn)動(dòng),過一段時(shí)間后沿順時(shí)針方向加速運(yùn)動(dòng).

(D) 磁場(chǎng)力對(duì)小球一直不做功.

解析:改進(jìn)后正確選項(xiàng)(A)、(C)、(D)．改編后此磁場(chǎng)是中心對(duì)稱型磁場(chǎng),且磁場(chǎng)中心與圓環(huán)中心重合,(C)、(D)選項(xiàng)與原題情形(3)相同．

選項(xiàng)(A),設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化規(guī)律為B=B0+kt.又由

v=v0-at，

得

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),得

圖5

討論:小球逆時(shí)針減速運(yùn)動(dòng)時(shí)(第一象限),v減小,F水平減小,且F水平方向指向球心,則FN減小;后來,小球順時(shí)針加速運(yùn)動(dòng)時(shí)(第四象限),v增大,F水平增大,且F水平方向沿半徑向外,則FN增大;故(A)選項(xiàng)正確．

磁場(chǎng)力為

(3)

同理得

討論:

圖6

筆者認(rèn)為在分析感生電場(chǎng)問題時(shí),高中階段也應(yīng)重視中心對(duì)稱型磁場(chǎng)的中心和范圍,只有確定感生電場(chǎng)中心位置后,才能具體分析帶電小球在感生電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況,以及判斷局部導(dǎo)體棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小．