對一道高三模考題的深入思考

王 鑫

(常州市第三中學，江蘇 常州 213000)

1 問題的提出

2018年南京市高三一模試卷第9題是一道彈簧雙振子問題.此題在南京市物理教研群中引起了廣泛的討論.很多一線教師對此題的最后一個選項也存在疑惑.筆者對這道考題也進行了較為深入的思考.為將該問題分析透徹,本文從定性和定量兩個維度進行了分析,同時利用GeoGebra軟件將兩物體的各個運動參量的變化情況進行了呈現.希望本文的分析能夠給其他一線教師一些參考.

2 原題回放

圖1

如圖1所示兩質量相等的物塊A、B通過一輕質彈簧連接,B足夠長、放置在水平面上,所有接觸面均光滑,彈簧開始時處于原長,運動過程中始終處在彈性限度內,在物塊A上施加一個水平恒力F,A、B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中,下列說法中正確的是有

(A)A的加速度先增大后減小.

(B)B的加速度一直增大.

(C) 當A、B的速度相等時,彈簧的彈性勢能最大.

(D) 當A、B的加速度相等時,兩者的動能差最大.

3 定性分析

A、B兩物體從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中,A物體在水平方向受向右的拉力和向左的彈簧彈力,B物體在水平方向只受向右的彈簧彈力作用,隨著形變量增大,彈簧彈力增大,A物體的加速度逐漸減小,B物體的加速度一直增大.由以上分析容易知道當兩物體速度相等時,兩物體相距最遠,彈簧彈性勢能最大.對于最后一個選項可以做以下定性分析:

取A和B為系統,利用動量定理得

Ft=mvA+mvB,

化簡得兩物體動能差為

對兩物體的動能差求導得

從求導的結果中容易發現當兩物體的加速度相等時,兩物體的速度并不相等,這意味著動能差的一階導數不為0,所以動能差在加速度相等時并沒有達到最大值,原題中的(D)選項得以解釋.細細思考,這種定性分析的方法雖然能夠說明選項的正誤,但是對學生的數學要求較高、對于物理過程的分析過于淡化,介于以上原因,下文針對恒力作用下的彈簧雙振子進行了定量分析.

綜上所述,病程較長、文化水平較低、使用糖皮質激素類藥物為慢性蕁麻疹患者治療依從性差的影響因素,提示了對此類患者進行健康教育的重要性。

4 定量分析

取A、B為系統,初始時系統質心處于靜止狀態,取向右為正方向,利用質心運動定律

F=2maC,

系統的質心加速度為

系統質心做初速度為0的勻加速直線運動,質心速度為

vC=aCt.

在質心參考系中,質心將原彈簧分成等長的左右兩根彈簧,每根彈簧的勁度系數變為

kA=kB=2k.

A、B兩個物體相對質心做簡諧運動,以A為研究對象,引入慣性力,方向與F的方向相反.

彈簧拉伸x0時處于彈簧振動的平衡位置,

簡諧運動的振幅和圓頻率分別為

振子運動的最大速度

容易得A相對于質心的速度為

va′=vmsinωt,

B相對質心的速度為

vB′=-vmsinωt.

A相對地面的速度為

B相對地面的速度為

對速度求導,A、B兩物體相對地面的加速度分別為

利用GeoGebra軟件作出A、B兩物體的加速度圖像和速度圖像分別如圖2和圖3所示：

圖2

圖3

兩物體的動能差為

圖4

將動能差的圖像與加速度圖像合并在一張圖上進行比較如圖4所示.

從圖3中可以直觀看出,從靜止開始到第一次速度相等過程中,A的加速度逐漸減小,B的加速度逐漸增大.從圖4中不難看出,當兩物體的動能差最大時,兩物體的加速度并不相等,原題的選項得到準確解釋.

5 結束語

本文從定性和定量兩個維度分析了恒定外力作用下彈簧雙振子的運動規律.在定量分析的過程中通過引入質心系,利用質心運動定理將復雜的彈簧雙振子模型轉化為簡單易懂的彈簧諧振子模型.在數據分析的過程中通過GeoGebra軟件將復雜的運動過程進行了直觀的呈現.這里筆者只是給出較為簡單的處理方法,當然通過質心運動定理來求解微分方程也能描述彈簧雙振子模型,這里不做展開.