直線與方程錯(cuò)漏尋蹤

利翠玲

直線與方程在高考中一般以中、低檔的選擇題或填空題出現(xiàn).考點(diǎn)有：傾斜角與斜率，斜率公式，直線的平行與垂直判定及應(yīng)用，五種形式的直線方程，交點(diǎn)坐標(biāo)，三種距離（點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線），考查目的是能否用代數(shù)方法來對(duì)幾何圖形作出定性或定量的回答.考查重點(diǎn)為：①基本概念中的傾斜角與斜率；②位置關(guān)系中的平行與垂直；③數(shù)量中的距離計(jì)算；④求直線方程.本文將就直線與方程中的易錯(cuò)易混問題作一些分析.

一、斜率問題

例1. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（4， 8），且到原點(diǎn)的距離是4，求直線l的方程.

錯(cuò)解：設(shè)所求直線l的方程為y-8=k（x-4），可化為kx-y+（8-4k）=0.

由點(diǎn)到直線的距離公式可得=4，解得k=.

所以直線方程為y-8=（x-4），即3x-4y+20=0.

分析總結(jié)：

以上解法所設(shè)，僅僅考慮了斜率存在的情況，結(jié)合圖形易知x=4也滿足條件，所以上述解法是不完整的，漏掉了斜率不存在也符合題意的這一解：x=4. 故若將方程設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式，則應(yīng)對(duì)斜率是否存在進(jìn)行分類討論，否則極易漏解.

再試身手

已知圓C：（x-1）2+（y-1）2=4，直線l過點(diǎn)P（2， 3）且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且 | AB |=2，求直線l的方程.

〖答案〗x=2或3x-4y+6=0.

例2. 設(shè)直線l的方程為x+ycos？茲+3=0（？茲∈R），則直線l的傾斜角？琢 的范圍是 .

錯(cuò)解：由直線方程可得斜率k=-.

∵ cos？茲∈[-1， 1]且cos？茲≠0，則k∈（-∞， -1]∪[1， +∞）.

則tan？琢∈（-∞， -1]∪[1， +∞），又？琢∈（0， ？仔），

∴ ？琢∈[， ） ∪ （， ].

分析總結(jié)：

此題同樣忽視了當(dāng)cos？茲=0時(shí)斜率不存在這一情況. 當(dāng)cos？茲=0時(shí)，方程變?yōu)閤+3=0，其傾斜角為，故傾斜角的范圍應(yīng)是[， ].

在傾斜角和斜率的關(guān)系中，若k=0，則傾斜角為0°；若k>0，則傾斜角為銳角，且k 隨著傾斜角的增大而增大；若k<0，則傾斜角為鈍角，且k 隨著傾斜角的增大而增大；若k不存在，則傾斜角為90°.

再試身手

若曲線C1：x2+y2-2x=0與曲線C2：y[y-k（x+1）]=0有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是（ ）

A.（-， ） B.（-， 0）∪（0， ）

C.[-， ] D.（-∞， -）∪（， +∞）

〖答案〗B.

二、截距問題

1. 混淆截距和距離

例3. 求過點(diǎn)P（-5， -4）且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為5的直線方程.

錯(cuò)解：設(shè)直線方程為+=1，且直線過點(diǎn)P（-5， -4），得+=1……①，

又ab=5，故ab=10……②

由①②無解，故直線方程不存在.

分析總結(jié)：

這里將直線在x軸和y軸的截距當(dāng)成距離導(dǎo)致錯(cuò)解. 事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為，而不是.

2. 忽視截距為零

例4. 求經(jīng)過點(diǎn)（2， 1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.

錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為+=1.

由+=1且a=b得a=b=3.

∴ 所求的直線方程為x+y=3.

分析總結(jié)：

上述解法是以截距不為零為前提的. 事實(shí)上，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為零，即經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，也滿足題意，此時(shí)直線方程為y=x，故滿足題意的直線方程為y=x或x+y=3.

截距相等包括兩層意思，一是截距不為零時(shí)相等，二是截距為零時(shí)相等，而后者常被忽視，造成漏解.因此，對(duì)于此類題目，需分類討論求解.

再試身手

已知直線l：（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6的橫、縱截距相等，求實(shí)數(shù)m的值.

〖答案〗m=3或m=-2.

三、求直線方程問題

1. 忽視與x軸平行的情況

例5. 已知直線l過（1， 2）、 （2， b），求直線l的方程.

錯(cuò)解：由兩點(diǎn)式，得直線l的方程為=……③，

整理，得所求的方程為（2-b）x+y+b-4=0.

分析總結(jié)：

這里忽視了b=2，即與x軸平行的情況，若b=2，③式不成立.

一般地，過A（x1， y1）和B（x2， y2）兩點(diǎn)的直線方程可寫成（x2-x1）（y-y1）-（y2-y1）（x-x1）=0的形式. 在x2≠x1且y2≠y1時(shí)才寫成=.

2. 忽視兩條直線重合的情況

例6. 已知直線ax+3y+1=0與x+（a-2）y+a=0平行，求a的值.

錯(cuò)解：∵ =，解得a=-1或a=3.

分析總結(jié)：

上述解法忽視了兩直線可能重合的情況. 因?yàn)楫?dāng)a=1時(shí)，==，此時(shí)兩直線重合，所以a=-1舍去，故a的值為3.

3. 忽視直線的存在性的情況

例7. 已知直線l1： （m+3）x+（m-1）y-5=0與直線l2： （m-1）x+（3m+9）y-1=0互相垂直，試求m的值.

錯(cuò)解：直線l1 的斜率為k1=-，直線l2 的斜率為k2= -.

∵ l1⊥l2

∴ （-）（-）=-1，化簡(jiǎn)得=-1，m無解，故l1 與l2 不垂直.

分析總結(jié)：

實(shí)際上，上述解法是假設(shè)斜率已經(jīng)存在，而當(dāng)斜率不存在時(shí)的情況未作分析，導(dǎo)致兩直線不垂直的錯(cuò)誤結(jié)論.

對(duì)于兩直線互相垂直的問題，宜用“兩直線Aix+Biy+Ci=0（i=1， 2）垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0”，這樣避免斜率是否存在的討論.根據(jù)兩直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意斜率是否存在，對(duì)于斜率不存在的情況要單獨(dú)考慮，注意斜率相等并不是兩直線平行的充要條件，斜率互為負(fù)倒數(shù)也不是兩直線垂直的充要條件.

再試身手

如果直線（m+4）x+（m2+6m+8）y=m+4與y軸平行，求實(shí)數(shù)m的值.

〖答案〗m=-2.

4. 過定點(diǎn)的直線系問題

例8. 求證：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5必過定點(diǎn).

無論實(shí)數(shù)m怎樣變化，直線必過某一定點(diǎn)，此題如何求出？有些學(xué)生只會(huì)求出但不怎么理解.其主要原因是對(duì)多變量的環(huán)境無法用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來把次元變?yōu)橹髟紤]，對(duì)這一做法不完全理解.下面給出正解.

證明：將原方程按m的降冪排列，整理得：

（x+2y-1）m+（x+y-5）=0.

此式對(duì)m的任意實(shí)數(shù)值都成立，根據(jù)恒等式的要求，m的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等于零，故有x+2y-1=0，x+y-5=0，解得x=9，y=-4.

∴ m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線必通過定點(diǎn)（9， -4）.

分析總結(jié)：

在有關(guān)曲線過定點(diǎn)的問題中，無論曲線系中的參數(shù)如何變化，定點(diǎn)坐標(biāo)均滿足方程. 因此，對(duì)參數(shù)而言，原方程是恒等式，根據(jù)恒等式原理可以求出直線系所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

常見直線系方程的兩種形式：

（1）過定點(diǎn)的直線系：y-y1=k（x-x1），（k為變量，A（x1， y1） 為定點(diǎn)）；

（2）過兩直線交點(diǎn)的直線系：直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2 x+B2y+C2=0，則過l1 與l2 交點(diǎn)的直線系：A1x+B1y+C1+？姿（A2 x+B2y+C2）=0（？姿∈R），其中該式不包括直線l2.

再試身手

方程（1+4k）x-（2-3k）y+2-14k=0 所確定的直線必經(jīng)過點(diǎn)

（ ）

A.（2， 2） B.（-2， 2） C.（-6， 2） D. （3， -6）

〖答案〗A.

不怕錯(cuò)，錯(cuò)后出真知.在直線與方程的學(xué)習(xí)中，只要我們做到對(duì)基本知識(shí)、基本方法、基本技能多一些理解，在實(shí)踐中遇錯(cuò)能糾，反思求真，就能提高分析問題與解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用水平.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)