“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”教學設計（三）

姜本超

一、教學目標

知識與技能：了解獨立性檢驗的基本思想和初步應用，能對兩個分類變量是否有關系作出明確判斷；明確獨立性檢驗的具體步驟，會對具體問題進行獨立性檢驗.

過程與方法：讓學生在具體問題中發現進行獨立性檢驗的作用和必要性，會作頻率分布條形圖；介紹卡方檢驗，得出判斷兩個分類變量是否有關系的判定方法，并能準確給出判斷的可靠程度；介紹獨立性檢驗的綜合應用和指導意義.

情感、態度與價值觀：培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，明確數學在現實生活中的重要意義和價值，培養學生自主學習、獨立探究、合作交流的機會，培養嚴謹的學習態度以及實事求是分析問題、解決問題的世界觀，提高學生對數學的應用意識.

二、教學重、難點

獨立性檢驗的原理和一般步驟.

三、教學方法、手段

多媒體輔助，分組合作.

四、教學設計

（一）分組合作，匯報成果

1.展示小組的實驗報告（幻燈片）.

2.選一位小組成員對實驗報告進行講解.

設計意圖：通過課下小組合作探究、自主學習，對本次數學實驗進行匯報，得到初步判斷兩個分類變量的方法，體現“翻轉課堂”的教學理念，體現以學生為主體的教學意識.

（二）分析不足，構建模型

構建模型：檢驗假設.

理論依據：類反證法.

數學方法：相互獨立事件同時發生的概率.

問題解決：先假設H0：性別與喜歡數學沒有關系.用A表示男同學，B表示有興趣，則“性別與喜歡數學沒有關系”等價于“性別與喜歡數學獨立”，即P（AB）=P（A）P（B），推出ad≈bc，闡述其意義.

設計意圖：分析不足，在高中范圍內利用已學習過的知識，尤其是本章內容，構建新的數學模型，得到新的數字特征，進行新的判斷和論證.

（三）構造變量，分析原理

K2，實際相對于理論的離散情況（類比方差），K2=，分析該隨機變量的合理性.

設計意圖：詳細地闡述和證明了卡方公式的構造和化簡過程，有理有據，不會讓學生有突兀的感覺，顯得非常自然親切.

（四）應用舉例，詳解步驟

利用卡方檢驗對“性別和對數學有興趣”進行判定.

通過對調查數據進行分析，分別對3、8、16、24班進行調查和整理數據，其中去掉了一部分極端數據，得到K2≈11.722，由臨界值表得P（K2>10.828）=0.001，即在H0成立的情況下，這樣的觀測值的概率不超過0.001，由此判斷“性別與對數學有興趣”有關系，這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不超過0.001.

一般步驟：

（1）假設H0：兩個分類變量無關；（2）利用卡方公式計算K2的觀測值k；（3）對應臨界值表確定P（k>k0）； （4）下結論：①在犯錯誤的概率不超過P（k>k0）的情況下認為兩者有關系，②有（1-P（k>k0））×100%的把握認為兩個變量有關系.

設計意圖：給出一般的解題步驟，嚴格規范書寫，對重要的節點進行強調.

（五）抽絲剝繭，原理探究

設計意圖：給出獨立性檢驗的原理，追本溯源，類比反證法，尋找異同，體現數學邏輯的嚴密性和完整性.

（六）課上演練，模型應用（略）

（七）數學應用，思維導圖

數學解決問題的一般過程：發現問題—提出問題—找到研究方法—形成研究思維形成解決問題的方案.

由特殊到一般，再由一般到特殊（發現定理和應用定理）.

思維導圖：

設計意圖：體現數學的思維過程，在學生腦中留下印象，做到“有圖有真相”.

創新教學模式 打造以生為本的課堂

大慶實驗中學 邵惠霞

“獨立性檢驗”是統計學的一種檢驗方式，理論部分較難，涉及到很多大學數學的內容，憑高中學生的數學水平難以完成自主探究.但三位教師都以不同的方式讓學生最大限度地參與到知識的獲得過程中，很好地體現了以學生為主、以教師為輔的新課程理念，對“翻轉課堂”進行了初步探索.

在引入環節，王老師借助貼近生活的俗語，激發了學生的學習欲望；何老師從真實法律案件出發，引導學生分析被告方申辯的主要論據，既與實際生活聯系緊密，也強調了本節內容對生活的影響；姜老師則將學生對課前調查實驗報告的闡述作為引入，鍛煉了學生的表述和歸納能力，也讓學生的主體地位從一開始就有所體現.三節課都充分體現了學習本節內容的必要性，體現了數學從生活中來又到生活中去的應用價值.

在K2公式的介紹環節，王老師首先指出K2是按照一定規則構造出的一個隨機變量，接著選擇了直接給出K2公式.但對于K2分布及臨界值表的得出，則類比正態分布給出了解釋，一方面接近學生的最近發展區，另一方面大大加深了學生對獨立性檢驗這一理論的理解.將公式推導留為課后思考題，使學生能夠對知識進行再認知.何老師結合列聯表及事件的相互獨立性的理論給出了K2=的完整的推導過程，詳盡闡述了卡方統計量的由來，體現的是實際相對于理想狀態下的平均離散程度，較好地實現了理論和概念的生成.姜老師首先提出卡方是統計學家們根據實際情況構造的一個量，通過類比數組方差公式，回歸分析中的相關指數R2公式，再運用排列組合、概率公式、反證法等相關知識詳細論證了卡方公式從無到有的過程，運用思維導圖幫助學生梳理繁雜的運算過程.三位教師講授分寸拿捏得當，既沒有讓學生感到公式是“憑空出現”的，也沒有讓學生覺得這部分理論太深，難以理解，更難得的是，基于學生的現有水平實現了分層教學.

一節課的效果取決于教師對課堂的把握，與教師自身的教學理念和教學習慣息息相關.王老師本節課運用了“實踐—理論—再實踐—再理論”的互動模式，實效性強；何老師把以往概念課學生被動接受的狀況變為“探究—合作—交流”的方式，教學環節嚴謹，使學生對知識的認識與能力的提升同步進行；姜老師大膽放手，最大程度地把課堂交給了學生，注重知識間的廣泛聯系性，教學形象生動，使學生印象深刻.

既要引導學生探究知識的發生、發展過程，又要保證課堂內容的完整性，顯然是對教師提出的更高要求.三位教師的教學都取得了預期效果.但對個別細節的處理還稍顯倉促，例如，如果在課堂上能夠給學生多一點時間和機會提出疑問并嘗試解決，會讓知識的獲得過程更充實、更完美.對獨立性檢驗思想的進一步理解和解題規范性方面的闡述應安排在下一課時，通過更多正面和反面的例子進行詳細學習.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com