數形結合思想在高考導數問題的應用

邊紅霞

(河北省易縣中學 074200)

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”縱觀近幾年的高考試題，用數形結合的思想方法解決抽象的數學問題，成為高考命題的熱點.函數是考查數形結合思想的最好載體，特別是以函數與圖象、曲線與方程、函數與不等式為模型，考查學生分析和解決問題的能力.使用數形結合的關鍵是“以形助數”，要做到“胸中有圖，見數想圖”，要善于發現條件的幾何意義，刻畫出相應的圖形，還要根據圖形的性質分析數學式的幾何意義，這樣才能巧妙地利用數形結合解決問題.

例(2016年全國新課標卷Ⅰ 理科數學第21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解函數的零點是指函數圖象與x軸交點的橫坐標，確定方法是只要在區間(m,n)上滿足f(m)f(n)<0，則在(m,n)上必存在x0，使得f(x0)=0.

(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).討論：

①設a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x) 只有一個零點.

②設a>0，則當x∈(-∞,1)時f′(x)<0，當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，f(1)是其極小值，f(1)=-e,f(2)=a,所以在(1,2)上必有唯一零點.另一方面，如果在(-∞,1)上能夠找到一個自變量b，使得f(b)>0即可.

③若a<0由f′(x)=0解得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2<0，所以f(x)不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍是(0,+∞).

(2)因為函數有兩個零點，因此a>0，此時由數形結合，不妨設x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.于是只證此式即可.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，為保持運算的一致：又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0即：a(x2-1)2=-(x2-2)ex2，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)，所以當x>1時，g′(x)<0，函數g(x)在(1,+∞)上單調遞減，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0，從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

分析本題主要是考查導數的應用，在求解過程中考查數形結合思想、分類討論思想、函數思想，考查運算求解能力及邏輯思維能力.此題充分利用數形結合，同時用了構造函數求極值，證明不等式，這是這道題目的最大亮點.

綜上，數形結合是解決數學問題最重要的思想方法，特別是在高考導數題目中發揮著巨大作用.往往是在解決的全過程中，不斷地通過數與形的結合，將抽象的問題具體化，通過圖形找到解決問題的突破點，然后用數的推理去驗證形的準確性，使解題過程達到順暢通行！