一題多解及變式在解析幾何教學中的應用

趙 燕

(江蘇泰州學院數理學院 225300)

關于空間直線與平面的相關位置，兩直線的相關位置及兩平面的相關位置的題目千變萬化，一般都可以一題兩解，甚至一題多解.下面我們就書上的例題和課后習題來探究求解的一般思路及特殊方法，從而說明了在實際教學過程中，教師應該注重培養學生思維的廣闊性和深刻性.

首先給出一道求平面方程的題目，見《解析幾何》書上第134頁的例1.

解設所求平面方程為l(2x+y-2z+1)+m(x+2y-z-2)=0，

即(2l+m)x+(l+2m)y+(-2l-m)z+(l-2m)=0.

由兩平面垂直的條件得(2l+m)+(l+2m)+(-2l-m)=0，即l+2m=0，因此l∶m=2∶(-1).

所求平面方程為：2(2x+y-2z+1)-(x+2y-z-2)=0，即3x-3z+4=0.

可以發現，書上第120頁的第3題的2小題事實上是上述例題的變式.

分析方法1： 類似于例1的解法，寫出所求平面的方程，再利用所求平面的法向量與l2的方向向量垂直.

方法2：設所求平面π的法向量為n，利用點法式寫出通過直線l1上一點(2,-3,-1)的所求平面π的方程，再利用π的法向量n與l1和l2的方向向量均垂直.

接下來探究求直線方程的題目，見《解析幾何》書上第132頁的第9題.

方法2： 設所求直線為l，因為l與直線l1平行，可設l的方向向量為v={8,7,1}.直線l2與l3的方向向量分別為v2={0,1,0}，v3={3,2,6}.在直線l2上設y=0，解得x=9,z=39.那么(9,0,39)為直線l2上一點.在直線l3上設x=0，解得y=-3,z=-4.那么(0,-3,-4)為直線l3上一點.因為所求直線l可以看作兩平面的交線，其一是l與l2決定的平面，其二是l與l3決定的平面，所以兩平面的方程分別為

《解析幾何》書上第132頁的第7題事實上是例2的變式.

分析設所求直線l的方向向量為v，直線l1的方向向量為v1={4,-2,1}，且過點M1(1,3,0)，平面π的法向量為n={3,-1,2}.

解方法1：所求直線l可以看作兩平面π1和π2的交線，π1是通過點P(1,0,-2)且與平面3x-y+2z-1=0平行的平面，π2是P與l1決定的平面(過P點，以M1P和v1為方位向量)