轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情
——從高中數學核心素養的視角看立體幾何引言課教學

浙江省北侖明港高級中學 (315805)

周秋艷

1.背景

隨著教育部《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》的發布，“核心素養”一詞迅速升溫為“熱詞”.相應的，高中數學課標修訂組給出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養.但如何在教學中把核心素養落在實處？關鍵是要“示以學生思維之道”，讓學生經歷完整的“獲得對象-研究性質-應用拓展”過程，使學生學會思考，能用數學的方式認識問題和解決問題.

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小和位置關系的數學學科，人們常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及性質.三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的幾何直觀能力和運用圖形語言進行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力是高中階段數學必修課程的一個基本要求.核心素養視角下立體幾何引言課的核心價值不在于學習多少知識，而在于其作為先行組織者的功能與價值，即引言課能在多大程度上激發學生的學習興趣，能在多大程度上對后繼學習起引領、指導、組織作用.通過對本章要學習的內容和研究的方法初步的了解，使學生做到心中有數，為后繼學習做好充足的鋪墊和心理準備，喚起了學生對本章學習的強烈期待，做到“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情”.

“好的開始是成功的一半”.因此，為實現一章學習的良好開端，我們不能急于進入知識的講解、技能的訓練、習題的演練.所以在立體幾何引言課教學中，應以學生空間概念的建立及空間思維的形成為重點，提高對學生空間想象能力的培養，同時努力實現以下幾點目標：(1)通過本節課的學習，使學生了解立體幾何的研究對象、研究內容、研究方法以及培養學生的空間想象能力；(2)通過游戲讓學生觀察、思考、比較.讓學生在有趣的活動中建立空間概念；(3)在教學活動過程中激發學生學習立體幾何的興趣，培養他們善思的學風、探索的精神.

2.教學過程簡錄

2.1 運籌帷幄有玄機——研究立體幾何的必要性

圖1

探究一：請同學們觀察這幅圖，你認為是什么圖形？畫的是什么？

學生反應比較多的是平面圖形，像走廊、像電視機的背面，也有說像四棱臺的……

設計意圖：關注學生的生活經驗和已有的知識體驗是《新課程標準》的理念之一.用生活實例創設情境，讓學生親自動手，自我發現，同時也培養了學生的空間想象能力.

探究二：你能用6根長度相等的木棍拼出四個全等的正三角形嗎？而且三角形的邊長恰好是木棍的長.

活動設計：把學生分成若干小組，每一組分發六根長度相等的木棍，由學生拼圖，然后選取一組學生到講臺上展示自己的成果.

活動過程：學生很容易在桌面上用五根木棍拼出兩個全等的正三角形.三角形數量不夠，不合題意.此時教師提示：“四個三角形一定在同一平面上嗎？”這時有部分學生恍然大悟，小組同學通力協作，拼出了四個全等的正三角形，各小組爭相展示自己的作品，學生們體會到了探索的樂趣，成功的快感.

設計意圖：通過游戲激發了學生的學習興趣，獲得了愉悅的數學學習體驗，同時促進學生主動建構有關的數學知識，達到讓學生在主觀意識上發現在現實世界里只研究平面問題是不夠的，把學生的視線由平面引導到了空間，形成平面圖形到立體圖形的轉化，沖出平面，走向空間，使立體幾何的引入變得水到渠成.

2.2 不為浮云遮望眼——關注立體幾何的研究對象、內容

問題1 我們生活在豐富多彩的圖形世界中，從太空的天體到現實世界的建筑，從居家的裝飾到生活用品器具，再從機械零件到微觀世界的分子結構.自然界展現了豐富多彩的幾何圖形.請看下列圖片，你能從中找到哪些熟悉的空間圖形？

小組討論得到答案：錐體、圓柱體、長方體、球體等等.

在討論過程中引導學生認識空間復雜幾何體一般都是一些柱、錐、球等簡單幾何體組合而成的，并指出幾何學的研究對象和在各領域的廣泛應用價值.

設計意圖：使學生從圖片展示中感受立體幾何與我們的生活環境密切相關，學習立體幾何知識對我們更好的認識世界具有重要價值和意義，增強本章內容與學生的親近感.

問題2 平面幾何研究對象、內容是什么？

學生回答，教師補充.

對象：平面圖形；內容：點、線的位置關系、圖形的畫法、相關計算及應用.

猜想一下，立體幾何研究的對象和內容是什么？

引導學生看圖片、實物模型，回答下列問題：

(1)比較老師畫的圖2，圖3，哪一個更像長方體？

學生回答：圖3，因為圖2都是實線看上去像是平面圖形.

圖2 圖3

(2)在圖3中，指出∠A1D1C1、∠A1AD的大小.

生：從圖中看∠A1D1C1是鈍角，∠A1AD是銳角.

師：它們都是直角.

(3)點B1在直線AD上嗎？直線B1B與直線CD相交嗎？

生：點B1不在直線AD上，直線B1B與直線CD不相交.

師：這表明空間圖形與平面圖形在畫法上的差異，在直觀圖中判斷圖形的形狀不能沿用平面的眼光，要看得“深遠”，要有立體感.

從而引導學生發現立體幾何的研究對象是：空間中的點、線、面；研究的內容是空間圖形的畫法，點、線、面的位置關系，計算角的大小，線段的長短，面積、體積的大小.

2.3 千樹萬樹梨花開——學習立體幾何的思想方法

著名教育家蘇霍姆林斯基曾說過：“讓學生體驗到一種親身參與掌握知識的情感，乃是喚起少年對知識產生興趣的重要條件.由此，請同學們思考下面這個生活的問題：

問題3 已知a,b,c表示直線,(1)若a∥b,a∥c,則b∥c;(2)若a⊥b,a⊥c,則b∥c;正確嗎？

預期學生答案：在同一平面內(1)、(2)都是真命題，在空間內(1)仍然是真命題，但是(2)不一定成立，如教師引導學生發現墻角處的三條直線，滿足的是三條直線兩兩垂直.即a⊥b,a⊥c,b⊥c.

活動設計：引導學生發現身邊的實物如紙張、筆作為工具，來說明這一問題.

設計意圖：培養學生的動手能力、從現實生活中尋找解決問題方法的能力以及說明平面幾何中成立的結論在立體幾何中不一定成立，不成立的舉出反例來即可.考慮問題時要著眼于整個空間，不能局限于一個平面.同時要善于與平面幾何做比較，認識其相同點，發現其不同點，即平面幾何的結論不能原封不動地搬到立體幾何中，但在立體幾何圖形的一個平面上，平面幾何的所有結論全都可用，這種思想方法就是類比思想.

圖4

問題4 在桌面上放置一個長方體ABCD-A1B1C1D1,其中AB=3,AD=2,AA1=1,在長方體的頂點A處有一只小螞蟻，沿表面爬到頂點C1處，爬行的最短路程是多少？

請同學們為小螞蟻選擇恰當的路線，最快到達.

活動設計：學生獨立思考，然后小組內討論，最后選派代表發言.(圖4)

活動過程：經同學們認真思考，排除了小螞蟻沿著AC1爬行，即從長方體內部穿過，成為穿山甲的可能，激烈討論，得出如下幾種結論.

①小螞蟻穿過棱BB1，爬行至C1處；

②小螞蟻穿過棱A1B1，爬行至C1處；

③小螞蟻穿過棱BC，爬行至C1處；

④小螞蟻從A到B，從B到C，從C到C1；

⑤小螞蟻從A到B，從B到B1，從B1到C1；……

在這些路線中哪一條最恰當呢？④、⑤種情況很容易計算得出結論.但過棱BB1上的某一點到C1處，這一類型的路線長度如何計算呢？

設計意圖：以具體的幾何模型為載體，讓學生明白立體問題平面化是解決立體幾何問題的重要方法之一，培養了學生的空間想象能力、促進了學生空間概念的建立.從而進一步激發學生研究立體幾何的興趣與熱情.空間圖形的長度和角度計算問題一般要轉化為平面圖形去解決，只要轉化到平面圖形中，就可以運用平面幾何知識去解決，這就是轉化思想.

2.4 小結提升

立體幾何研究的對象：空間圖形

立體幾何研究的內容：

2.5 教學反思

本節課的成功之處：(1)用熟悉的問題吸引學生的注意力，用活動激發學生的興趣，把立體幾何寓于對問題的分析、認識當中；(2)在教學方法上，本節課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，引導學生充分發揮自己的想象力，去發現立體世界的神奇奧秘；(3)以活動為主的課堂教學方式充分體現了“以人為本”，以學生為主體的新課程教學理念.

需改進之處：由于時間的關系，在這堂課中完成了立體幾何的研究對象和內容后，沒有強化學生畫圖識圖能力.若時間充裕，一定會布置一定數量的圖片對比，和學生動手畫圖的習題，讓學生在畫圖識圖過程中強化空間想象能力的培養，為學習三視圖和直觀圖做好鋪墊.

3 核心素養視角下的引言課教學思考

3.1 引言課的教學價值

為何要上引言課？一言以蔽之：了解過去，展望未來，激發興趣；一斑窺豹，充滿期待，再創輝煌.教材最基本的功能就是教學資源.引言作為全章起始的序曲，是全章內容的引導性材料，決定了他們在教學中的作用和功能.良好的開端往往有事半功倍之效，向學生介紹本章知識的必要性、知識的結構框架、學習時采用的思想方法，并展示相應的數學文化，激發學生學習的興趣，營造積極向上的學習氛圍，培養學生的學科素質.

3.2 引言課的現狀

雖然“章頭圖”和引言課有很多的教學功能，但在現實的教學中，許多教師并沒有給出足夠的重視，原因很多：要么是認為引言內容過于簡短，缺乏相應背景資料，沒什么好講；要么是查找資料發現要講的內容還真多，沒有獨立的課時安排，怕影響進度；還有就是準備不充分，對學情沒有清晰的認識倉促上陣，使學生更加糊涂，上還不如不上.這些做法嚴重影響了引言課拉長生長鏈的功能，使學生學習缺乏整體性和思想性，知識碎片化，不利于學科素養的提升.

3.3 怎樣上好引言課

按照布魯納的學科結構論的思想，每個知識點的出現，都應該既自然又必然，所以章引言就很重要，結構主要由“為什么要學這一章？”、“學什么？”、“怎么學？”，基本遵循“情境創設——問題提出——互動交流——章引言解讀——點評”的模式.引言課要盡可能挖掘即將學習這一章或一門學科中既有典型性、趣味性、藝術性等人文價值，又能體現主要內容和思想方法的元素，以調動學生的積極性，激發學生對新課的向往.要通過簡單的例子說明深刻的道理.立體幾何的引言課教學要體現“沖出平面，走向空間，回歸平面”的思想.

數學的思想不是靠講解讓學生理解，而是靠創設情境讓學生感悟的.本文中教學特別注重數學直覺，追求數學本真.從游戲棒搭建三棱錐、正方體的線面關系到螞蟻在長方體表面爬行的最短距離，都是以具體的幾何模型為載體，帶領學生觀察、思考、討論、歸納，處處滲透類比、轉化的思想，讓學生真切地體會了在空間中是怎樣研究幾何問題的思考方法.為了讓學生在起始課的起承轉合之中學會起從章引言、啟在章引言和始于章引言，將立體幾何研究的主要對象、核心內容、重要特性以及主旨數學思想方法巧妙地交織在一起，繪制了一幅圖文并茂的立體幾何畫卷，搭建了全章的知識框架，又通過章引言開啟了課堂的教學流程，實現了教學的四個環節.不僅可使學生善于反思，樂學善學，更可以培養他們勇于探索，敢于批判質疑的能力.讓學生掌握所學知識技能的同時，感悟知識的本質和實踐經驗，形成和發展核心素養.

現在的教學要求教師必須轉變教學觀念，改變傳統的教學方法，改善學生單一的學習方式.但改革必須有抓手和依托，每章的引言恰恰給我們提供了契機.從這一意義上說，引言教學猶如一面窗戶，映襯出課程改革的全貌.通過本節課的教學實踐，認識到多一點精心預設，就能多一份水到渠成，體會到由“關注知識”轉向到“關注學生”.在教學過程中，注意到由“給出知識”到引起活動“自主探知”，由“完成教學內容”轉向“促進學生發展”.但學生的日常經驗還不能支撐全部數學，因此數學教學要把隱藏在背后的理性思考激活，要把數學的文化價值點穿，幫助學生體會“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的數學解題意境，學生才會喜歡數學.一堂好課，師生一定會有共同的，積極的情感體驗.