由一道數(shù)學預賽試題引出的結論

寧夏彭陽縣第四中學 (756599)

李艷玲

題目[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則[log21]+[log22]+…+[log22012]= .(2012年河南省高中數(shù)學競賽預賽試題)

試題解答的關鍵是把[log21]+[log22]+…+[log2210]的求和轉化為0·20+1·21+2·22+…+9·29的求和，這就涉及到等差乘以等比型數(shù)列求和的形式，通過指數(shù)比較，不難啟發(fā)我們將問題進一步引申，得到下面的結論.

結論1 設f(x)=log2x(x∈N*),[f(x)]表示不超過實數(shù)f(x)的最大整數(shù)部分，記Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]，則Sn=(n-2)·2n+n+2.

證明:由2k≤x≤2k+1-1(k∈N)得，滿足[f(x)]=k的x共有2k+1-1-2k+1=2k(個).于是有Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]=0·20+1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n，設S=0·20+1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1,①.給①兩邊同乘以2得2S=0·21+1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n,②.由①減②(錯位相減)得-S=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=2n-2-(n-1)·2n，所以，S=(n-2)·2n+2，故有[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]=(n-2)·2n+n+2(其中n∈N*).

對于底數(shù)為2的對數(shù)取整求和我們有上面的計算公式，那么，當對數(shù)的底數(shù)是3時，是否也有相應的計算公式呢？經(jīng)過探究有下面的結論.

比較結論1和結論2的結果，我們發(fā)現(xiàn)它們有章可循，于是不難得出猜想，當對數(shù)的底數(shù)為4時，有下面的結論.

結論3 設f(x)=log4x(x∈N*),[f(x)]表示不超過實數(shù)f(x)的最大整數(shù)部分，記Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(4n)]=

類似的，對于底數(shù)為5、6、…，可以寫出相應的結論.限于篇幅，本文不再贅述.通過猜想歸納，我們便可以得到一個更一般的結論.

證明:(數(shù)學歸納法)(1)當n=1時，左邊S1=[f(1)]+[f(2)]=1，右邊=

(2)假設當n=k時等式成立，即Sk=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(ak)]

當n=k+1時，Sk+1=Sk+

所以，當n=k+1時，等式成立，由(1)和(2)知，對一切的n∈N*等式成立.

下面看結論的應用

題[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，若[log36]+[log37]+…+[log3n]=2009，試確定整數(shù)n的值.(2009年北京市高一數(shù)學競賽預賽試題)