兩個不等式的應用舉例*

江蘇省南京市金陵中學 (210005)

于 健 徐美松

含指數式和對數式的常見的兩個不等式分別為ex≥x+1(x∈R)①，lnx≤x-1(x>0)②．

上述結論可以通過構造函數f(x)=ex-x-1和g(x)=lnx-x+1，利用導數求它們的最值加以證明．從幾何的角度來看，直線y=x+1和y=x-1分別是曲線y=ex在(0,1)處、y=lnx在(1，0)處的切線；由不等關系可知y=x+1的圖像恒在y=ex的圖像的下方(除去切點)，y=x-1的圖像恒在y=lnx的圖像的上方(除去切點)．(①、②被形象稱為切線不等式)

在理解和記憶的基礎上，運用這兩不等式進行適當放縮，可以將含有復雜的指數式、對數式的求值證明問題轉化為簡單的有理式(整式、分式)的求值證明問題，進而將問題破解．

一、適時轉化 變繁為簡

例1 (2013年新課標卷)已知函數f(x)=ex-ln(x+m)．當m≤2時，證明f(x)≥0．

簡證：利用兩個結論ex≥x+1，lnx≤x-1得，f(x)=ex-ln(x+m)≥(x+1)-[(x+m)-1]=2-m≥0．

例2 (2013年清華大學等“華約”自主招生考試)已知f(x)=(1-x)ex-1．

(1)求證：當x>0時，f(x)<0；

(2)若數列{xn}滿足xne=e-1，x1=1，求證：{xn}遞減．

(2)欲證{xn}遞減，只要證xn>xn+1(xN+)，即證exn>exn+1,即欲證xnexn>xnexn+1=exn-1，只要證f(xn)=(1-xn)exn-1<0(xN+)，又由(1)知x>0時，f(x)<0，故證xn>0(xN+)．

當n=1時，x1=1>0，假設當n=k時，xn>0正確，即xk>0；

又xkexk+1=exk-1>(xk+1)-1=xk，則exk+1>1，則xk+1>0，所以當n=k+1時，xn>0也正確．所以xn>0(xN+)成立，數列{xn}遞減．

總結:例題1、2都聯系了不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，再由代換思想得eg(x)≥g(x)+1，lng(x)≤g(x)-1．如ln(x+m)≤(x+m)-1，exk>xk+1．在例2第(2)小題長鏈條、多環節的解題過程中，解題者往往會有“山重水復疑無路”之感，當再次嵌用了不等式

exk>xk+1，頓時“柳暗花明又一村”．

二、深度轉化 以靜制動

例3 (2013江蘇高考)設函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數．

(1)若f(x)在(1，+∞)上是單調減函數，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1，+∞)上是單調增函數，試求f(x)的零點個數，并證明你的結論．

解:(1)略；

(ⅰ)當a≤0時，f(x)=lnx-ax在(0，+∞)上單調遞增．

3）串口通信使用的MSComm控件，并非Visual Studio自帶，而是VC++6.0的舊版本控件，雖然易于編程，但存在不便于軟件發布等問題。

總結:關于零點的判斷，解答時大多都是通過具體賦值來判斷相應的函數值的符號，其中自變量的賦值往往和參數有關，也正是因為這一點，還需要對函數值的符號加以證明，而如何賦值往往沒有頭緒．

例4 (2014福建高考)已知函數f(x)=ex-ax(a為常數)的圖像與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1．

(1)求a的值及函數f(x)的極值；

(2)證明：當x>0時，x2

(3)證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈(x0,+∞)，恒有x2

解:(1)略；(2)略；

(3)的證明：(方法一)不妨令x>0，則x2

令c′=lnc，上述問題轉化為：

對任意給定的實數c′，存在x0≥0，使得當x∈(x0，+∞)時，2lnx

記h″(x)為h′(x)的導函數，h?(x)為h″(x)的導函數．

例5 (無錫2015屆上學期期末)設函數f(x)=x2lnx-ax2+b在點(x0，f(x0))處的切線方程為

y=-x+b．

(1)求實數a及x0的值；

解：(1)略；

令-x+b>0，則當00．

從以上所舉例子中可以看到切線不等式在優化問題解答中所發揮的巨大作用，類似的例子在高考壓軸題中還有很多，我們可以把切線不等式根據題目中的條件進行一系列的改造，這些派生的不等式在處理問題時會發生更大的作用.遵循本文給出的解題線索，讀者可以研究還有更多的派生不等式及其應用.