我命我超綱,你用你高明
——對用高等數學知識解答高考題的一點反思

江西省南昌市第三中學 (330047)

張金生

在高考中能否用“洛必達法則”、“拉格朗日中值定理”等高等數學知識答題?會不會扣分?一直是中學一線教師關心的問題,2015年江西省恢復考全國卷,在高考閱卷工作快結束時,全國卷命題專家到省考試院和中學閱卷教師代表座談,關于能否用高等數學知識解答高考試題,專家用“我命我超綱,你用你高明”作答.2010年使用全國卷的某省在高考閱卷中，第21題中的第(2)問起初的評分標準是使用洛必達法則即使結果正確也要扣一分，試評結束后經過題長和顧問的討論，決定不扣分.扣或不扣都有道理，但最終只會有一個確定的標準，所以使用超綱知識有時有一定風險.

2010年和2011年高考中的全國新課標卷中的第21題中的第(2)問，由不等式恒成立來求參數的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果.

例1 (2010年全國新課標理21題)設函數f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的單調區間；(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

原解在處理第(2)問時的解法考生較難想到，現利用洛必達法則處理如下：

另解:(2)當x=0時，f(x)=0，對任意實數a,滿足f(x)≥0；

圖1

對于閱卷過程中發現的這種應用高等數學空間解析幾何的解法,還是給予了肯定.

根據試評結果，該題在制定評分細則時給出4種參考解法，其中一種是使用“對數平均值不等式”作答.

2018年高考《考試大綱》和《考試說明》里，進一步完善了對“一體四層四翼”高考評價體系的表述，將“立德樹人、服務選才、引導教學”作為高考的核心功能，重申“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”四個層次的考查內容和“基礎性、綜合性、應用性、創新性”四個方面的考查要求.突出對“學習潛能”的考查.大學教授們命制高考試題，高等數學知識已經滲透到高考命題當中,它將高等數學的定義、定理用初等數學知識表述出來，即試題的設計來源于高等數學知識，但解決問題時是利用初等數學知識.這樣，不僅顯示出命題的立意新、情景新、思維價值高，而且拓寬了考生的視野，為考生進入高校學習新知識作了前期的準備，符合考綱對高考試題命題的創新要求，還可以借此來有效地提高考生的數學應用能力和數學核心素養，培養學生良好的數學思維品質和創新意識，同時也拓寬了試題命制的模式化.

高中階段時間是很短的(兩年多時間學完課程近一年時間復習)，對于那些非超常的普通學生，尤其是那些連高中數學基礎題、中檔題都做不好的學生，不去扎扎實實地學好高中教材內容，不切實際地好高騖遠，利用寶貴的一點點課余時間去學習高等數學，試圖通過學習高數(或奧數)，來提高高考成績，得不償失，“遠水不能解近渴”，它不能解決高中數學中諸多的“挖地三尺”或“彎彎繞”的試題.但對極少數的頂尖的中學生，他們很早就接觸了高等數學(或奧數)，并在高等數學(或奧數)的滋潤下盛開數學之花，在高考中應用高等數學知識快速解答取得佳績.對教超常學生的重點班的教師，站在高數背景下講解數學考題，勢必會有一種高屋建瓴之氣勢，對于學生開拓視野，提升能力也極為有用.“不登高山，不知天之高也；不臨深谷，不知地之厚也”.