解析幾何中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)最值題的解法探析

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

殷春華

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是解析幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，而且常常與解析幾何中的最值問(wèn)題有緊密的聯(lián)系.遇到此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)常束手無(wú)策.在“動(dòng)”的過(guò)程中，尋找“定”，是解析幾何的核心問(wèn)題之一.這類(lèi)問(wèn)題，常可以對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探尋，利用點(diǎn)的軌跡來(lái)解決.現(xiàn)舉幾個(gè)例子加以分析說(shuō)明.

類(lèi)型一：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，利用點(diǎn)與直線(xiàn)的距離求最值.

例1 過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓C：(x-3)2+(y-4)2=1的切線(xiàn)PQ，其中Q為切點(diǎn)，若|PQ|=|PO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|PQ|的最小值為 .

思路：本題中，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，PQ與PO均在變化.但圓C是個(gè)確定的圓，故PQ可利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理求出，PO可利用兩點(diǎn)間距離公式求出.這兩個(gè)量在求解過(guò)程中，均要用到點(diǎn)P.因此，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，就可以得到關(guān)于x,y的等式，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.由于|PQ|=|PO|，所以求|PQ|的最小值就是求|PO|的最小值.而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡已經(jīng)求出，從而可以比較容易地解決問(wèn)題.

解析：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，因?yàn)镻Q與圓C相切，所以PQ2=PC2-r2=(x-3)2+(y-4)2-1.又PO2=x2+y2.由PQ=PO知PQ2=PO2，得到(x-3)2+(y-4)2-1=x2+y2，化簡(jiǎn)可得3x+4y-12=0，即點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)l:3x+4y-12=0.因?yàn)镻Q=PO,所以求PQ的最小值即求PO的最小值.而PO的最小值就是求一定點(diǎn)O到直線(xiàn)l:3x+4y-12=0上一動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值,顯然點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離最短.因此PQmin=POmin=

類(lèi)型二：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值.

解析:以AB邊所在的直線(xiàn)為x軸，AB的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系.

類(lèi)型三：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求最值.

例3 已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為 .

思路:在平面內(nèi)，到直線(xiàn)12x-5y+c=0的距離為1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與該直線(xiàn)平行且距離為1的兩條直線(xiàn)l1和l2.現(xiàn)在圓x2+y2=4上要有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)12x-5y+c=0的距離為1，因此，直線(xiàn)l1與l2均必須與圓x2+y2=4都有兩個(gè)公共點(diǎn)，即直線(xiàn)l1與l2均必須與圓x2+y2=4都相交.利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系就可以求出實(shí)數(shù)c的取值范圍.

類(lèi)型四：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，利用圓與圓的位置關(guān)系求最值.

圖1

由|PQ|=|PA|可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線(xiàn)，又由圓與圓的位置關(guān)系可把問(wèn)題解決.如果此題能從探索動(dòng)點(diǎn)的軌跡這個(gè)角度去思考，就能把比較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

上述動(dòng)點(diǎn)與最值結(jié)合的問(wèn)題，初看時(shí)均不知從何入手.經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)均有一個(gè)共同特征：即動(dòng)點(diǎn)最終均滿(mǎn)足某個(gè)等式.從而可以探索出動(dòng)點(diǎn)所在的某個(gè)曲線(xiàn)，再解決最值問(wèn)題就顯得比較容易.

類(lèi)型五動(dòng)點(diǎn)的軌跡確定，利用對(duì)所求量變化趨勢(shì)的探索求最值.

圖2

例5 設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則實(shí)數(shù)x0的最大值為 .

思路:本題點(diǎn)M與點(diǎn)N，事實(shí)上均為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的軌跡已經(jīng)確定是直線(xiàn)y=1，點(diǎn)N的軌跡是圓O.如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，本題將很難解決.

因此，我們可以先假定點(diǎn)M“不動(dòng)”，為直線(xiàn)y=1上某一定點(diǎn).

觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)N在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OMN也在不斷地變化(如圖2).當(dāng)點(diǎn)O,M,N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，∠OMN=0°，然后∠OMN慢慢變大；

當(dāng)MN與圓O相切時(shí)，∠OMN最大.

上述幾種類(lèi)型的解析幾何問(wèn)題，都存在著某些共同特征，重點(diǎn)是找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.無(wú)論問(wèn)題中的條件如何變化，很多問(wèn)題最終都可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與線(xiàn)，點(diǎn)與圓，線(xiàn)與圓，圓與圓的位置關(guān)系來(lái)解決.當(dāng)然，在教學(xué)中，我們?nèi)匀恍枰粩嗟臍w納和總結(jié)，才能更好地面對(duì)可能遇到的新的問(wèn)題.