圓錐曲線中的最值問題

廣東省深圳市南山區(qū)教育局數(shù)學教研室 (518052)

周愛國

圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題，是從動態(tài)角度研究解析幾何中的數(shù)學問題，體現(xiàn)了圓錐曲線與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識之間的橫向聯(lián)系，綜合性較強，也是集中考查學生的轉化能力、邏輯推理能力、綜合分析問題與解決問題的能力，是考查轉化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想等知識的好素材，所以往往備受高考命題者的青睞．由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關，所以利用曲線性質(zhì)求解是其特有的方法．除此之外，它與函數(shù)中的最值求解也有類似之處．下面介紹幾種常見求解方法．

1．定義轉化法

|PF|+|PA|的最小值為 .

圖1

解析:如圖1,設雙曲線的右焦點為F′，根據(jù)雙曲線定義，有|PF|-|PF′|=2a=4，從而有|PF|+|PA|=

|PF|-|PF′|+|PA|+|PF′|=2a+|PA|+|PF′|，此時把問題轉化為求|PA|+|PF′|的最小值，顯然，當且僅當A,P,F′三點共線時取得，其最小值為|AF′|=

評注:根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法．本題借助雙曲線的定義把|PA|+|PF′|的最小值轉化為A,F′兩點間的距離，從而求得|PF|+|PA|的最小值．

變式已知點M是拋物線y2=4x上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在圓C：(x-4)2+(y-1)2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為 ．

(參考答案：依題意得|MA|+|MF|≥

(|MC|-1)+|MF|=(|MC|+|MF|)-1，由拋物線的定義知|MF|等于點M到拋物線的準線x=-1的距離，結合圖形不難得知|MC|+|MF|的最小值等于圓心C(4，1)到拋物線的準線x=-1的距離，即為5，因此所求的最小值為4．)

2．切線法

變式在拋物線y=4x2上求一點，使該點到直線y=4x-5的距離最短．

3．參數(shù)法

評注:根據(jù)曲線方程的特點，用適當?shù)膮?shù)表示曲線上點的坐標，把所求的最值歸結為求解關于這個參數(shù)的函數(shù)的最值的方法．本題充分利用了橢圓的參數(shù)方程，把兩個最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題，簡潔優(yōu)美．

4．函數(shù)法

解析:先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值．設Q(x,y)，則|O1Q|2=x2+(y-2)2①

因為Q在橢圓上，則x2=9(1-y2)②

評注:把所求最值的目標表示為關于某個變量的函數(shù)，通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法．本題將所求最值轉化為二次函數(shù)的最值，使問題的解答過程酣暢流利．

變式在拋物線y=4x2上求一點，使該點到直線y=4x-5的距離最短．

5．幾何法

圖2

評注:將圓錐曲線的最值問題轉化為平面幾何問題中的最值問題，再利用平面幾何知識，如對稱點、三角形三邊關系、平行線間距離等求解，本題的解答恰好利用了對稱的思想，同時也充分體現(xiàn)數(shù)形結合的思想．

圖3

(參考答案：根據(jù)橢圓定義，有|MB|+|MC|=2a=8，∴|MA|+|MC|=|MA|+(8-|MB|)=8-(|MB|-|MA|)，為使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，此時必有A、B、M三點共線時才可以取得，這時有|MB|-

6．基本不等式法

(2)求直線AB的方程(用x0,y0表示)；

(3)求△MON面積的最小值．(O為原點)．

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)，則PA、PB的方程分別為x1x+y1y=4,x2x+y2y=4，而PA、PB交于P(x0,y0)，即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，

∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4．

評注:先將所求最值的量用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達式的最值．這種方法是求圓錐曲線中最值問題應用最為廣泛的一種方法．本題在最后一問求解面積的最值時用到了基本不等式．

變式已知定點F(0，1)和直線l1：y=-1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C．

(1)求動點C的軌跡方程；

圖4

解析：(1)由題設點C到點F的距離等于它到l1的距離，∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線．∴所求軌跡的方程為x2=4y．

(2)由題意直線l2的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2-4kx-4=0．如圖4，記P(x1，

y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=4k，x1x2=-4．

∵直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為