式子翻倍終不悔，只為“消”得解“憔悴”

廣東順德區杏壇中學 (528325)

陳美茹

廣東廣州市南海中學 (510160)

陳煥文

數列是高中數學的重要內容.高考主要考查數列的概念以及等差數列、等比數列的概念、性質、通項公式與前n項和公式.其中，等差數列、等比數列的通項公式與求和公式是考查的重點，特別是對數列通性通法的理解與應用.下面，我們以一道題為例，研究高三數列復習的教法學法，解題策略.

一、題目呈現

該題為2017年佛山青年教師解題比賽第19題，考查的內容是數列與不等式.題目如下：

(Ⅰ)求數列{an}的通項；

二、題目的考查目標及背景

1、知識目標：本題主要考查數列通項公式與前n項和關系，知Sn求an以及求數列和，證明不等式等.

2、能力目標：本題主要考查運算能力、理解能力、轉化能力和表達能力等.

3、數學思想與方法：本題主要考查學生猜想與論證的思想，構造思想、轉化與化歸思想,放縮思想等.

4、題目的基本背景

①人教A版必修5第44頁例題3

②人教A版必修5第47頁習題B組第4題

三、題目的難度分析

本題以知識和方法立意、兼顧能力的考查，重點考查數列基礎和主干知識，屬于高考中的中高檔題.第一問考查了已知前n項和求通項公式，難點在于運算以及構造數列；第二問考查數列求和及不等式的證明，難點在于裂項求和的運用，如何構造裂項，如何處理復雜多項式及分式運算，對學生的觀察力、理解力和運算能力有較高的要求.

四、題意理解和解題策略

題目給出的條件是Sn和an的關系，題干簡潔.第(1)問求通項公式an，第(2)問要求{bn}的前n項和Tn，并比較大小.

第(1)問的切入點是抓住Sn和an的關系，求通項.具體解答如下：

①-②，整理得(n+1)an-(n-1)an-1=2，等式兩邊同時乘以n，得(n+1)nan-n(n-1)an-1=2n，令bn=(n+1)nan，則bn-bn-1=2n.采用累加法可得bn=n2+n-1=n(n+1)-1.

解法2：注意到第二問要用到Sn，采用逆向思維，消去an.

解法3：考慮到部分學生水平一般，很難想到前兩種解法處理問題，可嘗試通過計算a1,a2,a3，歸納總結出an的通項公式，再用數學歸納法證明.

下面用數學歸納法證明:

第(2)問的切入點是對bn的變形，利用bn求出Tn，重點考查數列求和方法—-裂項相消法，關鍵點在于如何想到裂項，怎樣裂項，這也是大多數學生無法完成此題的關鍵因素.

下同解法1.

特別說明：想到裂項是關鍵，如何裂項是難點.

五、題目的教法與學法

美國當代數學家哈爾斯說過:“問題是數學的心臟”.沒有好的問題就沒有異彩紛呈的數學，沒有好老師用好的問題引領學生去學，就沒有數學課堂的精彩.

(1)立足于學生答題的情況，分析學生存在的問題.從學生作答的情況來看，本題的得分并不高，值得注意的有以下問題：

第(1)問中一是存在運算問題，二是構造不出新的數列來，所以建議尋求其他的方法解答，例如數學歸納法.

第(2)問中求和時不知如何裂項放縮；

運算速度和準確度普遍有待提高；

注意解答規范和細節，如n=1的情況不要忘記.

(2)教會學生如何分析題目的定位和目標，搞清楚問題的本質和所學知識的關聯.

從題目的位置來看，應屬于中等偏難考題；從題目的已知條件和要求的結論來看，本題本質是回歸課本所學核心和主干知識.所以我們在平時的學習過程中應立足基礎知識和基本關聯，搞清概念本質和必然聯系.

對于數列不等式的證明問題通常分為可求和和不可求和兩大類，可求和的直接求和再比較大小，不可求和的常用放縮法(也有其他比如數學歸納法、構造控制數列法、利用加強不等式、積分法等).求和常見的方法有公式法、拆項分組法、裂項相消法、錯位相減法和倒序相加法.本題只有裂項相消法適用.

這么復雜的式子如何裂項呢？由于分母已因式分解，實際作通分的逆運算即可，不用去擔心分子n+2如何處理，它一定有它存在的理由.如果掌握好這些知識和聯系，解好這道題就是水到渠成的事情了.

(3)問題驅動，詳細剖析解題策略.

對第(1)問設計如下問題，引導學生思考：

1、已知Sn求an，通常如何求解？

2、構造不出數列，先求a2,a3，再找規律？

對第(2)問設計如下問題：

1、我們學過的數列求和方法有哪些？

2、如何拆成兩個分式的差？

(4)解題和教學中應及時捕捉學生的閃光點.比如:學生的巧妙解法，或者出發點是好的，即使沒做出來，也要借機肯定學生的想法，這對學生無疑是莫大的鼓勵.再解到此類問題是否能有信心、有毅力求出答案.

(5)在解題的過程中要避免“會而不對，對而不全”的情況.因此，平時教學中要重點注意以下幾個方面：

注意書寫表達規范；

注意運算結果準確；

注意條件與結論的等價轉換；

注意分類討論全面，不能想當然.

六、題目的價值與推廣——高考鏈接

從題目考查的深度與思維量來看，該題作為高考的中高檔題，注重考察基礎知識和基本技能，并在此基礎上有所提高，是一道好題.而作為平時教學，該題更是對教學有很好的導向作用—課堂教學要立足基礎，高于基礎，挖掘本質，探尋聯系，這也是素質教育的體現.

1、該題的教學中，教師可作以下的變式訓練：

(1)求a2的值；(2)求數列{an}的通項公式；

(1)求數列{an}的通項公式an;

2、提供裂項的另一種方法：待定系數法

將分子表示為分母兩個因子的線性表示

3、一道考查裂項求和的好題呈現給學生(2012廣州二模)：

源于教材、高于教材，這是變式教學的重要指導思想.問題須在學生的“最近發展區”內進行拓展，以原題為源，緊扣教材，突出定義、定理、公式的重要價值，突出數學思想在分析解決問題中的重要作用，體現教材在高考中的導向性，體現對學生能力培養的重要作用.

七、教學反思

如今，我們使用課標卷，在平時的教學中，教師要引導學生對題目進行拆解，對復雜結構進行變形，從而化繁為簡.要學會抓概念、抓本質，抓基本方法，以不變應萬變.更重要的是，應意識到教學生解題是毅力的培養，當學生求解難題時，應讓他學會敗而不餒，學會欣賞微小的進展，學會期待靈感的迸發，學會當靈感來后全力以赴.讓學生養成良好的思維習慣，樹立良好的思維品質，才是真正的授人以漁.