玩轉等體積法：突破高考立體幾何的瓶頸

廣東省肇慶市百花中學 (526020)

胡其華

數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[1].這些核心素養既相互獨立，又相互交融，是一個有機的整體，高考命題特點就是體現對這些素養的綜合考察.空間立體幾何則綜合考察學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養，即運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，運用轉化、化歸思想尋求運算思路，選擇運算方法的計算能力.立體幾何的難點空間角和距離的計算，一般涉及三棱錐的體積、空間點到面的距離、空間直線到平面的距離、直線與平面所成的角[1]，恰恰也是大部分學生不能突破的瓶頸問題，雖然屬于中等難度的題目，但學生得分并不理想.這些問題一般有兩種方式進行處理，一種是借助空間直角坐標系，利用空間向量法，轉化為向量的計算問題.另一種方法則是利用等體積法，進行轉化，比如2015年廣東卷、北京卷文科數學第18題，2013年上海卷理科數學第19題.等體積法的思想，雖然人教版的教材沒有明確提出來，但是教師在講立體幾何知識時都會講到它.追根溯源，初中數學的等面積法中就有所體現，這里不過是把它推廣到立體幾何的情形罷了，它的成功運用，會給我們帶來一種“柳暗花明又一村”的感覺.

上面的四個作用歸根結底都是通過轉化為棱錐的體積進行計算，再用等體積法、解方程的思想化難為易，但是大部分中等水平的學生往往能知其名，卻不能順利玩轉，致使這部分的分數大量丟失.通過調查分析，發現學生的運用誤區有5個：(1)利用等體積法求體積時，三棱錐的頂點和相應的高選擇不恰當；(2)誤認為四棱錐也能用等體積法求體積；(3)線面垂直的證明不夠熟練，導致求棱錐的高時出錯，顯得很盲目.這里包括對高的證明不詳細，或者誤認為棱錐的頂點在底面的射影一定落在底面三角形的內部.(4)棱錐的底面積計算出錯或找不到恰當的方法，導致花了大量的時間來求面積.(5)線面距離、異面直線的距離、線面角到點面距離的轉化中，頂點的選取不恰當.

針對以上誤區，本文提出以下的解決策略.

1.熟練掌握常用的求三角形面積方法

為了直觀，有必要時可將底面三角形的平面圖單獨畫出來，再求面積.以下常見的求三角形面積的方法，學生務必熟練掌握.

S1=直角三角形面積，S2=等腰三角形面積，S3=正弦面積公式，S4=2SΔBCO.

2.重視線面垂直的證明，以便盡快找到三棱錐的高

文科生要特別重視線面垂直的證明，理科生還可以用空間向量法，以下是4個定理的推理模式：

(1)線面垂直的判定定理：l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m,n?α?l⊥α

(2)線面垂直的性質定理：l⊥α,l∥n?n⊥α

(3)面面平行的性質定理：l⊥β,β∥α?l⊥α

(4)面面垂直的性質定理：α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l?β?l⊥α

其中(1)-(4)兩個定理的使用過程中，學生容易漏掉推理模式的部分條件，但是從題目條件是不難看出該選擇哪個定理的.此外，還應充分使用題目中的長方體、正方體或直棱柱或棱形的對角線互相垂直等線面垂直、線線垂直關系.

3.熟練掌握幾種常見的用等體積法求解的類型

線面距離、異面直線的距離、線面角都是通過轉化成點面距離，再借助等體積法進行求解.對于初學者，在多種情況下的運用要結合實例借助問題串的設計幫助學生認知的推進和提升.在一輪復習時，我們主張回歸教材，精心選擇、設計典型習題，認真剖析，以達到難點的突破.其實，在高中數學必修2人教版A版第28頁習題1.3A組第3題適合用來介紹等體積法的基本思想：計算三棱錐的體積與底面的選擇無關.這里必須明確只有三棱錐改換了底面后還是棱錐.為了說明等體積法的應用，筆者對課后題進行了如下的改編：

圖1

如圖1，正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為a.

(1)求三棱錐A′-AB′D′的體積；

(2)求點A′到平面AB′D′的距離；

(3)求直線BC′到平面AB′D′的距離；

(4)求AA′與面AB′D′所成角θ的正弦值.

問題串設計：(1)求三棱錐A′-AB′D′的體積時，底面ΔAB′D′的形狀是什么？頂點A′在底面上的射影在哪里？因此三棱錐A′-AB′D′的高不知道的情況下，采用等體積法計算體積.如果用ΔA′B′D′作為底面，底面積怎么求？高是什么？根據又是什么？你能寫出此三棱錐所有的底面和找到相應的高嗎？(此處的設問很有必要，因為有時學生不能一次性找正確，比較之下，還能體驗怎樣找到最好的形式：底面面積好算，高比較明顯.

(3)求直線BC′到平面AB′D′的距離時，線面位置關系應該是怎樣的？能夠證明嗎？在證明了直線BC′∥平面AB′D′后，這樣就將線面距離轉化為點面距離，那么選擇直線BC′上的哪一點呢？若選取點B，用等體積法列的方程如何？若選取點C′，用等體積法列的方程又如何？

圖2

再如2013年高考數學上海卷理科第19題，如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.

(1)證明：直線BC1∥平面D1AC；

(2)求直線BC1到平面D1AC的距離.

此外，在平時評講題目時，可以讓學生寫出圖中所有的相關三棱錐的表示形式，再讓學生對比各種表示形式嘗試1求出各自的體積，深刻體會題目條件的題眼怎樣準確地整合到圖形中去，學生通過充分地思考，仔細地“玩轉”，難點就不攻自破了.