玩轉(zhuǎn)等體積法：突破高考立體幾何的瓶頸

廣東省肇慶市百花中學(xué) (526020)

胡其華

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[1].這些核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體，高考命題特點(diǎn)就是體現(xiàn)對這些素養(yǎng)的綜合考察.空間立體幾何則綜合考察學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，即運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，運(yùn)用轉(zhuǎn)化、化歸思想尋求運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法的計(jì)算能力.立體幾何的難點(diǎn)空間角和距離的計(jì)算，一般涉及三棱錐的體積、空間點(diǎn)到面的距離、空間直線到平面的距離、直線與平面所成的角[1]，恰恰也是大部分學(xué)生不能突破的瓶頸問題，雖然屬于中等難度的題目，但學(xué)生得分并不理想.這些問題一般有兩種方式進(jìn)行處理，一種是借助空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.另一種方法則是利用等體積法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如2015年廣東卷、北京卷文科數(shù)學(xué)第18題，2013年上海卷理科數(shù)學(xué)第19題.等體積法的思想，雖然人教版的教材沒有明確提出來，但是教師在講立體幾何知識時(shí)都會講到它.追根溯源，初中數(shù)學(xué)的等面積法中就有所體現(xiàn)，這里不過是把它推廣到立體幾何的情形罷了，它的成功運(yùn)用，會給我們帶來一種“柳暗花明又一村”的感覺.

上面的四個(gè)作用歸根結(jié)底都是通過轉(zhuǎn)化為棱錐的體積進(jìn)行計(jì)算，再用等體積法、解方程的思想化難為易，但是大部分中等水平的學(xué)生往往能知其名，卻不能順利玩轉(zhuǎn)，致使這部分的分?jǐn)?shù)大量丟失.通過調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)用誤區(qū)有5個(gè)：(1)利用等體積法求體積時(shí)，三棱錐的頂點(diǎn)和相應(yīng)的高選擇不恰當(dāng)；(2)誤認(rèn)為四棱錐也能用等體積法求體積；(3)線面垂直的證明不夠熟練，導(dǎo)致求棱錐的高時(shí)出錯(cuò)，顯得很盲目.這里包括對高的證明不詳細(xì)，或者誤認(rèn)為棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定落在底面三角形的內(nèi)部.(4)棱錐的底面積計(jì)算出錯(cuò)或找不到恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢?dǎo)致花了大量的時(shí)間來求面積.(5)線面距離、異面直線的距離、線面角到點(diǎn)面距離的轉(zhuǎn)化中，頂點(diǎn)的選取不恰當(dāng).

針對以上誤區(qū)，本文提出以下的解決策略.

1.熟練掌握常用的求三角形面積方法

為了直觀，有必要時(shí)可將底面三角形的平面圖單獨(dú)畫出來，再求面積.以下常見的求三角形面積的方法，學(xué)生務(wù)必熟練掌握.

S1=直角三角形面積，S2=等腰三角形面積，S3=正弦面積公式，S4=2SΔBCO.

2.重視線面垂直的證明，以便盡快找到三棱錐的高

文科生要特別重視線面垂直的證明，理科生還可以用空間向量法，以下是4個(gè)定理的推理模式：

(1)線面垂直的判定定理：l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m,n?α?l⊥α

(2)線面垂直的性質(zhì)定理：l⊥α,l∥n?n⊥α

(3)面面平行的性質(zhì)定理：l⊥β,β∥α?l⊥α

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l?β?l⊥α

其中(1)-(4)兩個(gè)定理的使用過程中，學(xué)生容易漏掉推理模式的部分條件，但是從題目條件是不難看出該選擇哪個(gè)定理的.此外，還應(yīng)充分使用題目中的長方體、正方體或直棱柱或棱形的對角線互相垂直等線面垂直、線線垂直關(guān)系.

3.熟練掌握幾種常見的用等體積法求解的類型

線面距離、異面直線的距離、線面角都是通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離，再借助等體積法進(jìn)行求解.對于初學(xué)者，在多種情況下的運(yùn)用要結(jié)合實(shí)例借助問題串的設(shè)計(jì)幫助學(xué)生認(rèn)知的推進(jìn)和提升.在一輪復(fù)習(xí)時(shí)，我們主張回歸教材，精心選擇、設(shè)計(jì)典型習(xí)題，認(rèn)真剖析，以達(dá)到難點(diǎn)的突破.其實(shí)，在高中數(shù)學(xué)必修2人教版A版第28頁習(xí)題1.3A組第3題適合用來介紹等體積法的基本思想：計(jì)算三棱錐的體積與底面的選擇無關(guān).這里必須明確只有三棱錐改換了底面后還是棱錐.為了說明等體積法的應(yīng)用，筆者對課后題進(jìn)行了如下的改編：

圖1

如圖1，正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為a.

(1)求三棱錐A′-AB′D′的體積；

(2)求點(diǎn)A′到平面AB′D′的距離；

(3)求直線BC′到平面AB′D′的距離；

(4)求AA′與面AB′D′所成角θ的正弦值.

問題串設(shè)計(jì)：(1)求三棱錐A′-AB′D′的體積時(shí)，底面ΔAB′D′的形狀是什么？頂點(diǎn)A′在底面上的射影在哪里？因此三棱錐A′-AB′D′的高不知道的情況下，采用等體積法計(jì)算體積.如果用ΔA′B′D′作為底面，底面積怎么求？高是什么？根據(jù)又是什么？你能寫出此三棱錐所有的底面和找到相應(yīng)的高嗎？(此處的設(shè)問很有必要，因?yàn)橛袝r(shí)學(xué)生不能一次性找正確，比較之下，還能體驗(yàn)怎樣找到最好的形式：底面面積好算，高比較明顯.

(3)求直線BC′到平面AB′D′的距離時(shí)，線面位置關(guān)系應(yīng)該是怎樣的？能夠證明嗎？在證明了直線BC′∥平面AB′D′后，這樣就將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，那么選擇直線BC′上的哪一點(diǎn)呢？若選取點(diǎn)B，用等體積法列的方程如何？若選取點(diǎn)C′，用等體積法列的方程又如何？

圖2

再如2013年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第19題，如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.

(1)證明：直線BC1∥平面D1AC；

(2)求直線BC1到平面D1AC的距離.

此外，在平時(shí)評講題目時(shí)，可以讓學(xué)生寫出圖中所有的相關(guān)三棱錐的表示形式，再讓學(xué)生對比各種表示形式嘗試1求出各自的體積，深刻體會題目條件的題眼怎樣準(zhǔn)確地整合到圖形中去，學(xué)生通過充分地思考，仔細(xì)地“玩轉(zhuǎn)”，難點(diǎn)就不攻自破了.