圓族的構造與應用

廣東省云浮市新興縣惠能中學 (527400)

何國飛

筆者針對人教版教科書上的一類求圓方程的例題、習題，進一步研究發現，通過構造出滿足條件的圓族，能大大地減少運算.

記直線l：Ax+By+C=0,圓C0:x2+y2+Dx+Ey+F=0；曲線C:(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ(Ax+By+C)=0(這里A,B,C,D,E,F及λ均為實常數).我們不難證明下面的三個結論：

(Ⅰ)如果直線l與圓C0有兩個交點，則過這兩個交點的圓可用C表出；

(Ⅱ)如果圓與直線l和圓C0兩兩相切且有同一個切點，則該圓可用C表出；

(Ⅲ)與直線l切于點(x0,y0)的圓可用(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0表出.

下面幾例，就是這三個結論的應用.

例1ΔABC的三個頂點的坐標分別是A(5,1)、B(7,-3)、C(2，-8)，求它的外接圓的方程.

解：過A、B兩點的直線l為2x+y-11=0，以A、B兩點為直徑端點的圓C0為(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)=0.過A、B兩點的圓可表示為C:(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)+λ(2x+y-11)=0.

圓C過(2，-8)點,把(2，-8)點代進圓C,得(-3)(-5)+(-9)(-5)+λ(2×2-8-11)=0，解得λ=4.故所求的外接圓方程為(x-5)(x-7)+(y-1)(y+3)+4(2x+y-11)=0，即x2+y2-4x+6y-12=0.

例2 求經過點M(2,-2)以及圓x2+y2-6x=0與圓x2+y2=4交點的圓的方程.

解：圓x2+y2-6x=0與圓x2+y2=4交點所在的直線方程為3x-2=0，設所求的圓為x2+y2-6x+λ(3x-2)=0，M(2,-2)代之得-4+4λ=0,λ=1,故所求的圓為x2+y2-6x+(3x-2)=0，即x2+y2-3x-2=0.

例3 求過點(3,1)且與直線x+3y-7=0切于點(1,2)的圓的方程.

解：設所求的圓為(x-1)2+(y-2)2+λ(x+3y-7)=0，點(3,1)代入得5-λ=0,λ=5，故所求的圓為(x-1)2+(y-2)2+5(x+3y-7)=0，即x2+y2+3x+11y-30=0.

例4 求過點(3,1)和點(6,-3)且與直線x+3y-7=0相切的圓的方程.

解：設圓與直線x+3y-7=0相切的切點為(7-3t,t)，則所求的圓方程為(x+3t-7)2+(y-t)2+λ(x+3y-7)=0.