函數(shù)零點(diǎn)巧變換 切線為媒顯神威

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007)

方志平

有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的不等式證明問題，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.由于此類題目結(jié)構(gòu)千變?nèi)f變，設(shè)問方式各不相同，使得問題變得十分靈活.對(duì)于這類問題，我們?nèi)绾芜M(jìn)行思辨呢？又如何去解答呢？本文闡述的是一類借用切線證明有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的不等式問題，方法新穎，獨(dú)具一格，賦有創(chuàng)意.這僅是此類問題的冰山一角，權(quán)當(dāng)起拋磚引玉之用.

圖1

(1)先證明當(dāng)-1

令h(x)=2ex+1-x2+2x+1，h′(x)=2ex+1-2x+2，令φ(x)=2ex+1-2x+2,∵x+1>0,∴φ′(x)=2ex+1-2>0,知φ(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，∴φ(x)>φ(-1)=6>0,即h′(x)>0,h(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，∴h(x)>h(-1)=0,即g′(x)>0,所以g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，∴g(x)>g(-1)=0,∴g(x)=2e(x+1)-f(x)>0，即當(dāng)-1f(x)成立.

圖2

評(píng)注：本題若直接求解函數(shù)f′(x)=m的零點(diǎn)，簡(jiǎn)直是無法求得，由于本題證明的問題是關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)差的不等式，并非是等式，于是數(shù)形結(jié)合，聯(lián)想到借助曲線y=f′(x)與x軸交點(diǎn)處的兩條切線為“媒”，將“函數(shù)零點(diǎn)差”巧妙放大為“兩切線與直線y=m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差”，從而使問題迎刃而解.

上述這種變換零點(diǎn),依切線為“媒”的求解策略，使問題變得簡(jiǎn)潔、清晰，其解法使人耳目一新，彰顯出其別具一格的魅力！同時(shí)也將數(shù)形結(jié)合的思想提升到了一個(gè)新的高度，這對(duì)提高學(xué)生解題能力和培養(yǎng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣都大有裨益，另外，也為此類問題的推陳出新發(fā)揮著拋磚引玉的作用.