2017年中國北方希望之星數(shù)學邀請賽第7題別證及推廣

江蘇省姜堰中等專業(yè)學校 (225500)

陳文忠 陳 宇

2017年中國北方希望之星數(shù)學邀請賽第7題：如圖1，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°,M為斜邊AB的中點，點D,E分別在邊AB,AC上，且滿足∠ABE=∠BCD，直線DC與ME交于點F，證明：FB⊥AB.

參考答案以純幾何方法證明.筆者在此將借助解析法給出該題的一個別證—簡證.進而將其推廣.

圖1

該賽題可作如下推廣：

在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°,M為斜邊AB的中點，點D,E同時分別在射線BA,AC(或射線BA,AC的反向延長線)上(E點不與A,C點重合)，且滿足∠ABE=∠BCD，直線DC與ME交于點F.證明：FB⊥AB.

(2)當e0.上述別證已證明.

圖2 圖3 圖4

(ⅱ)若∠ABE=∠BCD=90°，如圖5，此時λ=0.則點D,A重合于A處.直線DC與ME的交點F與點E重合于E點.顯然，F(xiàn)B⊥AB.此時，|BC|2=|CE|·|CA|?ae+b2=0.

圖6

圖7

雖說有違命題者初衷.但解析法證明這道幾何題，無需作任何輔助線，且只涉及直線斜率，直線方程，兩直線交點及夾角等有限的直線的最基本知識.過程簡單，思路順其自然.無需奇思妙想.可謂簡潔.且其證明點E在邊AB上的所有情形，進而得以推廣.正所謂：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.