高中數(shù)學化歸思想及其應用研究

（吉林省松原市實驗高級中學 吉林 138000）

引言

1.化歸思想簡介

數(shù)學思想方法是科學思想、科學方法的一個重要組成部分。化歸思維，是一種重要的數(shù)學思想方法，化歸思想即把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題、把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題、把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，化歸思想是解決數(shù)學問題的常用方法之一[1]。在數(shù)學解題中轉(zhuǎn)化思維的運用極其重要，數(shù)學的問題總離不開轉(zhuǎn)化， 化歸思想在早期解決數(shù)學問題中就有很廣泛的應用，如納皮爾的對數(shù)法、笛卡爾的萬能方法、著名的哥尼斯堡七橋問題等等[2]。化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，互相制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。我將高中數(shù)學問題所應用到的化歸方法進行歸納總結(jié)，以便大家可以更直觀更具體的解決數(shù)學問題，這是我所要研究的重點。本文通過對化歸思想的研究和總結(jié)，使大家更好的掌握這種解題方法。

一、化歸方法與代數(shù)

化歸思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系、實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。以下將從二個方面來展示在代數(shù)問題中所應用的轉(zhuǎn)化思想。

1.數(shù)及代數(shù)式的運算

范例1.40顆棋子放在6×8=48個方格中（每格只能放一個棋子），要求各行各列的棋子數(shù)均為偶數(shù)。試問這樣的放法是否可能？[3]

解析：由于每行每列方格數(shù)均為偶數(shù)，則問題等價于使每行每列空格數(shù)均為偶數(shù)是否可能，這顯然可以辦到。如令左上角2×4=8個方格空著即可。

范例2.兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能擺放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問是先放者取勝，還是后放者取勝？[4]

解析：我們先考慮極端情況。假設硬幣恰與圓桌一樣大小，則先擺必勝。這是因為只要把硬幣擺在桌子中心即可。從極端情形中我們可以獲得啟示；擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心，由于桌面為中心對稱，以后不論對方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故必先擺者取勝。

該例題直接考慮顯得比較困難，但是通過把問題極端化，通過對極端位置或狀態(tài)下問題特性的考察，從而把問題化為比較容易的解決方法，從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì)，從而獲得解決問題的思路。

2.方程、函數(shù)、不等式

法國著名數(shù)學家笛卡兒在研究思維原則時曾提出過一個期望，即所謂的能用以解決各種問題的“萬能方法”：

第一，把一切問題化歸為數(shù)學問題；

第二，把一切數(shù)學問題化歸為代數(shù)問題；

第三，把一切代數(shù)問題化歸為方程式的求解[5]。

由于與方程式、1式、2式的定義域相同（均為不等于2kπ的所有實數(shù)），故此化歸為等價化歸，即是方程的解。

二、化歸方法與幾何

化歸由繁到簡目標原則是指化歸應朝著目標簡單化的方向進行，即復雜的待解決的應向簡單的較易解決的問題化歸。這里的簡單不僅是指問題結(jié)構(gòu)形式上的簡單，而且還指問題處理方式、方法上的簡單。

1.化歸方法與解析幾何

解析：如所知，求圓內(nèi)接三角形面積之最大值是很容易解決的。對于本例而言，我們就可運用壓縮變換的方法把橢圓轉(zhuǎn)化為圓。用過圓內(nèi)接三角形面積的最大值去研究橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值，

（正三角形），由于在壓縮過程中橢圓各點的縱坐標沒有變化，因而其內(nèi)接三角形面積的之高不會變動，只有三角形之底邊長變短了，如此，橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值是。

結(jié)語

博利亞曾經(jīng)強調(diào)指出：“中學數(shù)學教學的首要任務就是加強解題訓練”。然而，他所大力提倡的“解題”完全不同于“題海戰(zhàn)術”。他主張，與其窮于應付繁瑣的教學內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一道有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生深入挖掘題目的各個側(cè)面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入嶄新的天地。他認為解題應作為培養(yǎng)學生的數(shù)學才能和教會他們思考的一種手段和途徑，由此可見，加強解題教學，不是搞題型訓練，更不是搞題海戰(zhàn)術。他的準確含義是通過解題和反思活動，在解題基礎上總結(jié)和歸納解題的方法，并提煉上升到思想的高度。同時，通過解題活動，充分發(fā)揮數(shù)學思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，突出數(shù)學思想方法對解題的指導作用。

通過解題研究，我們可以充分意識到化歸思維在解題中的意義。在解題過程中，我們總是將問題由未知向已知轉(zhuǎn)化、由難到易、由繁到簡轉(zhuǎn)化，使問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)解決了或者容易解決的問題。