高中多元化的函數解題思路方法初探

（湖南省南縣第一中學高二 湖南南縣 413200）

引言

函數是函數關系式的概括性表達。筆者翻閱了相關資料，了解到我國是進行函數研究較早的國家之一。筆者在高中階段的學習里不止一次地發現，很多同學面對函數學習、解題存在困擾，無法透析核心知識，也抓不住解題的思路和方法。與老師溝通后，筆者總結了當前高中函數解題的若干問題和思路方法，以期為后續高中生函數解題提供參考。

一、當前高中函數解題的問題

1.題目較為抽象

高中函數相關題目的典型特征是內容十分抽象。由于函數題目重視考察原理，而這些原理在現實生活中往往鮮有涉及。如一次函數，從定義上看，X、Y需要滿足很多約束條件才能稱為一次函數。但現實生活中，很多與數學函數相關的知識都不是絕對理想化的，即便簡單的拋物線曲線變化也受到風力、空氣阻力的影響。面臨函數題目時，學生很難通過常規的聯想尋找到解題思路。抽象性是當前高中函數解題的主要困擾[1]，筆者在接觸函數類題目之初也曾面臨類似的困惑。

2.解題思路不開闊

高中學生的學習依然帶有中小學階段的若干特征，即強調對知識原理的理解，運用上重視程度不足。在函數學習的過程中筆者了解到，函數帶有多變性特點，這種特點的基礎來源于函數知識本身的復雜性。高中生在函數學習的過程中，如果只掌握一類知識，很可能受到結構化解題思路的影響，一旦題目出現變化，難以有效理解，解答上也會受到影響。比如我們很多同學在學基本初等函數的時候，也許還比較容易理解，但是一旦以基本函數構造復合函數，難度一下拔高。邏輯能力稍弱且又沒有掌握正確方法的同學，遇到相關復合函數的題型，經常有無從下手之感[2]。

3.題目知識點過多

知識點過多也是當前高中函數學習的主要挑戰之一。在學習和解題時筆者經常發現，函數往往以復合的形式存在。單調函數、反函數、復合函數多見于同一個題目中，知識內容過于豐富。面臨這類題目，筆者以及同學們普遍感覺思路混亂，需要抽絲剝繭，層層遞推，進行反復思考后才能找到解題的突破點。此外，有部分函數知識以應用類題目的形式出現，融合了高中數學的其他板塊內容，這也給解題帶來了難度。

二、多元化的函數解題思路方法

1.圖形結合法

圖形結合法是筆者常用的一種函數解題方法。該方法的基本特色是以圖像表達題目已知條件的核心信息，將這些信息進行提煉后給予集中表達，可以幫助高中生更好的獲取解題思路。

如：已知函數f(x)=logax+x-b，其中a＞0且a≠1，試求2＜a＜3，3＜b＜4，x0為函數零點且 n＜x0＜n+1，n∈N* 時，n 的大小。

該題目的信息給足了，可以根據已知條件建立一個坐標系，構畫函數圖像，根據函數圖像獲取一個基本的解題方向。函數圖像如圖1所示。首先假設函數y=logax，z=-x+b，已經條件中給明2＜a＜3，3＜b＜4，即是說，在y=logax且x的值為2時，y函數定義域內必然至少有一個值是小于1的。在函數圖像中也可以發現這一部分，且其交叉點在（2，3）之間。據此可以得出結果，當x0為函數零點，同時滿足 n＜x0＜n+1，n∈N* 時，n的值為2。

圖1 函數的圖像

2.了解題目主要考察內容

了解題目考察的主要內容是進一步實現解題的關鍵。筆者在高中函數學習的過程中，謹記老師關于解題的教導，即“了解出題人的意圖”。解題之前，先分析題目要考察的核心知識，以此作為解題的基本思路。

如：已知函數y=2x2-mx-m2，求證對于任意實數m，該函數與x軸總有交點；另求證若該函數圖像與x軸有兩個公共點A，B，且點A的坐標為（1，0），求點B的坐標。

這個題目考察的重點為二次函數及其定義域。解題時，可以直接抓住二次函數的特點。第一問，令y=0， △＞=0，m總有解，因此該函數與x軸總有交點。第二問，已知A的坐標為（1，0），則x=1，滿足方程2x2-mx-m2=0，得：m=-2或1，分別代入2x2-mx-m2=0。當m=-2時，得x=1和 -2，另一交點為B（-2，0）；當m=1時，解得：x=1和-1/2，另一交點為B（-1/2，0），完成解題。

3.尋找創新思路

思路的創新也是高中函數解題的重要方式之一。筆者認為，數學的抽象性注定了函數解題的復雜性。而嘗試解析不同問題，應明確一個基本原則“萬變不離其宗”。對函數知識進行充分學習，掌握其基本原理，再以原理為導向，進行復雜函數的探索，尋找更多的切入點和思路。

如：已知函數y=x2-4x+1。設函數與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），求x12+x22的值。

該題目考察的核心問題是一次函數的定義域。可以通過一次函數相關知識直接設法解題，也可以通過其他思路尋找解題辦法，比如運用韋達定理。在韋達定理下，x1+x2=4， x1*x2=1，x12+x22的值可以用計算式（x1+x2）2-2x1*x2表達。在該計算式下，又可以獲取計算等式：x12+x22=（x1+x2）2-2x1*x2，計算得到x12+x22=16-2*1=14，完成題目的解答。

此外，部分題目考察的知識點較多，還可以采用分步解析法，將知識拆分成若干部分，分別思考解題方法，再進行總結，避免雜糅的知識點影響解題思路。

結語

在高中學習、解題過程中，筆者以及筆者的同學們都曾受到函數解題的困擾。通過分析高中多元化的函數解題思路方法，學習了解相關知識，對函數解題的問題進行總結，可以發現三個主要問題，即題目較為抽象、學生解題思路不開闊、題目知識點過多。多元化視角下，可以采用圖形結合法、了解題目主要考察內容、尋找創新思路、進行分步解析等，提升函數解題的效率和學習的總體水平。