攔截高速目標的比例與反比例導引捕獲區分析

周 覲，雷虎民，侯 峰，趙 煒

(1. 空軍工程大學防空反導學院，西安 710051；2. 中國人民解放軍31001部隊，北京 101400)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器是以高超聲速飛行器為載體或直接作為武器本體使用，長時間在臨近空間飛行的武器，具有作戰空間大、飛行速度快、突防能力強以及毀傷力大等特點，能突破幾乎目前所有的防御體系，對我國空天防御安全提出了極大的挑戰。所以，開展攔截此類高速目標的臨近空間防御攔截彈制導控制技術研究已迫在眉睫[1-2]。

比例導引制導律其形式簡單且易于彈上實現，在現役防空武器系統中得到了廣泛應用[3]。在未來一段時間內，比例導引以及在其基礎上發展而來的擴展比例導引，偏置比例導引等制導規律仍將作為主流制導律以應對臨近空間高超聲速目標威脅。因此許多專家學者開展了面向高速目標攔截作戰的比例導引制導律設計。李新三等[4]基于模型靜態預測規劃方法設計了一種協同比例制導律，閆梁等[5-7]從普適性制導律的角度出發，設計了一種既能攔截高速目標(順軌模式)，又能攔截低速目標(逆軌模式)，并同時考慮到末端碰撞角約束限制的偏置比例制導律。在其基礎上，李轅等設計了針對高速目標攔截特點的三維聯合比例制導律[8-9]以及偏置比例制導律[10]。白國玉等[11-12]提出了一種自動選擇攔截模式并調整攔截彈速度，兼具順、逆軌攔截能力的全向真比例制導律，仿真結果表明，該制導律可以滿足對高速目標實施全向攔截的需求。秦瀟等[13]考慮用擴張狀態觀測器對目標的機動形式進行在線估計，設計了一種帶有目標機動補償的反比例制導律。Su等[14]設計了一種考慮零控脫靶以及飛行器間安全距離的偏置比例導引律。以上研究充分考慮了高速目標攔截作戰的特點，為防御作戰制導律設計提供了一定借鑒，但是對于制導律初始條件的選擇考慮較少。傳統研究中一般都在給定的初始條件下檢驗所設計的制導律，如果該制導律能成功攔截目標則證明制導性能良好，如果脫靶則證明制導性能欠佳，對于初始條件設置的合理性及有效性未能給出理論證明。

針對以上問題，臺灣學者Feng[15-17]和Lin等[18]研究了制導律成功攔截目標條件下攔截彈初始條件需滿足的約束關系，給出了制導律的捕獲區定義。Li等[19-21]沿襲其研究思路，在改進極坐標系下推導得到了制導律捕獲區的相平面圖(Phase portrait)。以上研究雖給出了制導律捕獲區應滿足的基本關系，但是推導過程特別復雜，而且從相平面圖中難以有效得到攔截彈末制導初始條件設置范圍。趙繼廣等[22]利用伴隨法和蒙特卡洛打靶的方法檢驗了比例導引和反比例導引的捕獲區，得到了二者捕獲區的定性對比分析，但仍缺少理論性證明。于大騰等[23]對能量約束下的動能攔截彈逆軌攔截攻擊區進行了建模，基于攔截彈和目標的機動范圍在攻擊區中的投影推導得到了制導捕獲區與逃逸區的計算方法。Prasanna等[24]系統性地研究了比例導引與反比例導引的捕獲區約束，但是其所建立的坐標系并非慣性坐標系，得出的結論并不具有普適性。

為了深入分析攔截高速目標作戰過程中末制導階段初始條件設置以及捕獲區范圍，本文首先結合攔截彈和目標相對運動關系，推導得到了逆軌零控攔截條件以及順軌零控攔截條件，其次通過分析零控攔截的邊界條件，建立了比例導引與反比例導引的捕獲區，然后利用函數對稱性，將比例導引捕獲區與反比例導引捕獲區在同一坐標區間下進行比較，證明了在相同條件下，反比例導引捕獲區要大于比例導引捕獲區，從而佐證了反比例導引在攔截高速目標作戰中的優勢，為應對臨近空間高超聲速目標威脅提供了一定的解決思路。

1 零控攔截條件分析

1.1 攔截彈和目標相對運動分析

臨近空間高超聲速目標速度超過馬赫數5，攔截彈在末制導階段并不具備速度優勢[25]，攔截彈和目標較大的相對速度造成末制導時間較短。在臨近空間特殊的作戰環境中，氣動力的作用效果有限，攔截彈主要借助直接力或直/氣復合控制[26]，重力以及指令過載對速度值影響較小，因此，結合臨近空間高速目標攔截作戰的具體背景特點，作出如下假設條件。

假設1. 裝備在攔截彈上的導引頭可以是紅外導引頭或者雷達導引頭，其最大作用距離為Rmax，忽略導引頭捕獲目標的過程，認為一旦彈目距離小于導引頭最大作用距離，導引頭即可對目標成功捕獲。

假設2. 在末制導階段，忽略目標機動影響，認為攔截彈的指令過載只改變其速度方向，忽略攔截彈和目標所受到的重力影響。

垂直平面內的攔截彈和目標相對運動關系如圖1所示。

圖1 攔截彈和目標相對運動關系圖Fig.1 Diagram of the relative motion between the interceptor and the target

在圖1中，XOY為地面慣性坐標系，M和T分別指代攔截彈和目標。M和T之間的連線為視線(Line-of-Sight，LOS)，攔截彈和目標之間的距離用R表示。V和a分別表示速度矢量和加速度矢量。θ表示速度矢量V和X軸之間的夾角，即彈道傾角。q表示視線LOS與X軸之間的夾角，即視線角。從圖1中可以得到攔截彈和目標的運動方程以及相對運動方程為，

(1)

(2)

(3)

γ=θM-q

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

其中(Xi,Yi),i=M,T表示攔截彈和目標在地面坐標系中的位置，γ和η分別表示攔截彈和目標的速度矢量與視線LOS之間的夾角，即速度前置角。

1.2 順軌和逆軌零控攔截條件分析

借鑒文獻[6]中的定義，本文中將攔截彈的速度矢量與目標速度矢量之間的夾角小于π/2情形下的攔截稱為逆軌(Head-on)攔截。將攔截彈的速度矢量與目標速度矢量之間的夾角大于π/2情形下的攔截稱為順軌(Head-pursuit)攔截。

通過圓心O′作視線LOS的垂線與LOS相交于點G，那么在三角形ΔAO′B可以得到，

(11)

sinγ=ρsinη

(12)

γ=arcsin(ρsinη)

(13)

將式(11)帶入到式(10)中可以得到，

(14)

從式(12)中可以進一步求得cosγ的表達式為，

(15)

將式(15)帶入到式(9)中并進行化簡可以得到，

(16)

(17)

從圖1中可以進一步觀察發現，零控攔截條件的邊界為視線LOS與攔截彈的速度矢量圓相切的情形，將切點分別記為點C和點D，此時可以得到，

γ=±π/2

(18)

將式(18)代入到式(13)中可以得到，

ηmax=arcsin(1/ρ)

(19)

從而可以得到存在零控攔截條件情況下的目標速度前置角η的取值范圍是

-ηmax≤η≤ηmax

(20)

2 比例與反比例導引捕獲區分析

2.1 比例導引捕獲區分析

當末制導初始時刻，攔截彈和目標的速度前置角不滿足零控攔截條件時，應引入末制導律將攔截彈導引到零控攔截曲線附近，確保對目標的成功攔截。

比例導引的加速度指令表達式為，

(21)

(22)

對式(8)進行求導，并將式(22)帶入，可以得到，

(23)

對式(4)進行求導，并將式(23)和式(3)帶入可以得到，

(24)

對于式(24)等號兩邊進行積分，

(25)

其中，η0和γ0分別為末制導初始時刻η和γ的初值。通過觀察式(25)可以發現，無論目標和攔截彈的速度比ρ取何值，應用比例導引得到的攔截彈與目標的速度前置角在(γ,η)平面內都表現為一條斜率為1/(N-1)的直線。

定理2. 在忽略目標機動影響，認為目標與攔截彈的速度比ρ保持不變的情況下，應用比例導引得到的捕獲區(Capture Region，CR)在(γ,η)平面內可以表示為，

CR=(A1∩B1)∪(A2∩B2)

(26)

其中，

(27)

(28)

(29)

(30)

f(γ,η)=η-arcsin(sinγ/ρ)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

證. 令式(31)中f(γ,η)=0即可得到零控攔截條件。如果目標和攔截彈的初始速度前置角η0和γ0不滿足零控攔截條件，那么在末制導律的作用下，二者將逐漸收斂至零控攔截狀態，以確保對目標的成功攔截。結合以上分析，在(γ,η)平面內目標和攔截彈的速度前置角將表現為一條斜率為1/(N-1)的直線，所以捕獲區的邊界條件應為此直線與零控攔截曲線相切的情形。因此令式(13)對γ進行求導，可以得到，

(38)

將式(38)與式(25)相比較，可以求解得到，

(39)

圖2 N=5, ρ=2時比例導引捕獲區Fig.2 CR of proportional navigation with N=5, ρ=2

證. 根據式(39)，可以得到，

(40)

結合目標與攔截彈的速度比ρ>1，可以得到式(40)中導航比N需要滿足，

(41)

通過以上分析可知，攔截方可以利用定理3設置有效的導航比N，確保定理2中捕獲區非空，然后根據定理2進一步解算捕獲區的邊界條件，得到特定導航比N以及速度比ρ情形下的比例導引捕獲區范圍。通過調整末制導初始時刻攔截彈狀態，使其位于此范圍內，從而確保對目標的成功攔截。

2.2 反比例導引捕獲區分析

反比例導引的導航比為負數，其加速度指令表達式為，

(42)

所以用-N代替2.1節分析中的N可以得到反比例導引捕獲區。

定理4. 在忽略目標機動影響，認為目標與攔截彈的速度比ρ保持不變的情況下，應用反比例導引得到的CR在(γ,η)平面內可以表示為，

CR=(A3∩B3)∪(A4∩B4)

(43)

其中，

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

定理4. 的證明與定理2的證明過程相似，在此不再贅述。圖3給出了導航比N=5，目標與攔截彈的速度比ρ=2時反比例導引的捕獲區。

圖3 N=5, ρ=2時反比例導引捕獲區Fig.3 CR of retro-proportional navigation with N=5, ρ=2

證. 根據式(50)和式(51)，可以得到，

(54)

結合目標與攔截彈的速度比ρ>1，可以得到式(54)中導航比N需要滿足，

(55)

2.3 比例與反比例導引捕獲區對比

同一坐標系中，導航比N=5，目標與攔截彈的速度比ρ=2時比例導引與反比例導引捕獲區如所圖4示。

圖4 N=5, ρ=2時比例導引與反比例導引捕獲區Fig.4 CRs of proportional navigation and retro-proportional navigation with N=5, ρ=2

定理6. 在忽略目標機動影響，認為目標與攔截彈的速度比ρ>1保持不變的情況下，導航比為-N的反比例導引律相比于導航比為N的比例導引律捕獲區要大。

證. 將零控攔截條件式(13)進行變形，記函數g(γ)為

(56)

由于g(π/2-γ)=g(π/2+γ)，函數g(γ)關于x=π/2軸對稱，所以將反比例導引的捕獲區關于x=π/2軸旋轉，得到如圖5所示捕獲區對比圖。

圖5 N=5, ρ=2時比例導引與旋轉后反比例導引捕獲區Fig.5 CR of proportional navigation and rotated CR of retro-proportional navigation with N=5, ρ=2

由于g(γ)=-g(-γ)，函數g(γ)關于原點(0,0)對稱，因此比例導引和反比例導引的捕獲區同樣關于原點(0,0)對稱。接下來只需要分析各自捕獲區的一半。記比例導引的系數mP=N-1，關于x=π/2軸旋轉后反比例導引的等效系數為mR=N+2，那么根據式(39)可以得到，切點的統一表達形式為

(57)

(58)

切線與零控攔截曲線的交點滿足的表達式為

(59)

將函數(59)對mi求偏導可以得到，

(60)

另外對于任意γ，帶入到比例導引捕獲區直線邊界L2和反比例導引捕獲區直線邊界L4可以得到，

η6=L2(γ)

(61)

綜上所述，在忽略目標機動影響，認為目標與攔截彈的速度比ρ>1保持不變的情況下，導航比為-N的反比例導引律相比于導航比為N的比例導引律來說，其捕獲區對應的區間更大，因此捕獲區更大。

3 仿真校驗

為驗證本文對于比例導引和反比例導引捕獲區理論分析的合理性，開展以下四種情形的仿真。仿真中設定攔截彈的彈上導引頭最大作用距離為Rmax=100 km，忽略攔截彈過載指令延遲環節。攔截彈和目標的初始參數設置如表1所示。

表1 攔截彈和目標初始參數設置Table 1 Parameter settings of the interceptor and the target

從表1中可以發現，目標和攔截彈的初始距離滿足攔截彈彈上導引頭的最大作用范圍約束，可以順利進入末制導階段。設置末制導過程中比例導引系數為5，反比例導引系數為-5。設置目標速度為3113 m/s，攔截彈速度為1556.5 m/s，目標和攔截彈的速度比為ρ=3113/1556.5=2。攔截彈的彈道傾角在四種仿真情形中發生變化，目標的彈道傾角為-180度保持不變。為體現代表性并不失一般性，此處選取目標和攔截彈的初始視線角為-10度，以盡量貼合臨近空間防御作戰中攔截彈再入打擊的特點。

3.1 情形一

仿真情形一的設置主要是為了檢驗順軌和逆軌零控攔截條件的有效性。由表1中攔截彈和目標的初始參數設置可以計算得到，目標的速度前置角為10度，結合式(13)，滿足順軌零控攔截條件的攔截彈速度前置角為160度，滿足逆軌零控攔截條件的攔截彈速度前置角為20度，進一步計算可以得到攔截彈的彈道傾角初始值應分別設置為-170度以及-30度。仿真得到的比例導引(PN)和反比例導引(RPN)結果如圖6所示，末制導時間和脫靶量對比如表2所示。

圖6 情形一捕獲區曲線Fig.6 Curves of the CR in scenario one

表2 攔截時間和脫靶量對比Table 2 Comparisons of the interception time and miss distance

從圖6中的捕獲區曲線可以發現，目標和攔截彈速度前置角的初始條件設置滿足零控攔截條件，并且在整個末制導過程中，目標和攔截彈的速度前置角都保持在零控攔截曲線附近，從而證明了本文零控攔截條件的合理性。從表2給出的末制導時間和脫靶量對比可以發現，PN和RPN都能夠成功攔截目標，PN的攔截時間22.06 s要小于RPN的攔截時間62.16 s，而PN脫靶量0.18 m略大于RPN的脫靶量0.02 m。

3.2 情形二

當攔截彈的速度前置角不滿足零控攔截條件時，只要其位于捕獲區內，在末制導階段就可以通過末制導律的作用將其收斂至零控攔截曲線附近。仿真情形二的設置主要考慮攔截彈的初始速度前置角不滿足零控攔截條件，但仍位于比例導引和反比例導引的捕獲區內。設置攔截彈的初始速度前置角為70度，仿真結果如圖7所示。

圖7 情形二捕獲區曲線Fig.7 Curves of the CR in scenario two

圖7給出了情形二中的捕獲區曲線，從圖中可以發現，攔截彈和目標的初始速度前置角并不滿足零控攔截條件，但是仍位于捕獲區內，PN和RPN分別導引攔截彈至零控攔截曲線附近，確保了對目標的成功攔截。目標和攔截彈的速度前置角在(γ,η)平面內表現為一條斜率為1/(N-1)的直線。從表2中可以發現，PN導引攔截彈選擇了近點攔截，攔截時間為23.41 s，脫靶量為0.16 m，而RPN導引攔截彈選擇了遠點攔截，攔截時間為51.90 s，脫靶量為0.06 m。

3.3 情形三

仿真情形一和仿真情形二驗證了零控攔截條件的有效性，在仿真情形三中，設置攔截彈的速度前置角為110度，使其不滿足PN捕獲區限制，然而仍然滿足RPN捕獲區限制。仿真結果如圖8所示。

圖8 情形三捕獲區曲線Fig.8 Curves of the CR in scenario three

從表2中可以發現，PN導引最終導致了攔截彈的脫靶，脫靶量為9495.78 m，攔截時間為27.26 s，而RPN導引能夠成功攔截目標，脫靶量為0.03 m，攔截時間為59.12 s。圖8中給出了情形三中的捕獲區曲線，從中可以發現，攔截彈和目標的初始速度前置角位于RPN導引捕獲區內，RPN導引能夠有效將攔截彈改變到零控攔截條件附近，確保對目標的成功攔截。由于初始條件位于PN導引捕獲區外，所以PN導引不能有效引導攔截彈，從而導致脫靶。仿真情形三說明了如果攔截彈和目標在末制導階段的初始條件位于末制導律的捕獲區外，那么單純依靠末制導去修正不良的初始條件難以滿足攔截需求，必須在中制導段提前修正，以確保較好的中末制導交接班狀態，為末制導提供良好的初始條件。仿真情形三在一定程度上說明了，在攔截高速目標作戰場景中，RPN相對于PN具有一定的優勢，在相同初始條件下，能夠攔截一些傳統PN制導律難以攔截的目標。

3.4 情形四

在仿真情形四中，設置攔截彈的速度前置角從0度至360度每間隔5度進行遍歷，分別利用PN和RPN作為末制導律進行蒙特卡洛打靶仿真，統計成功攔截目標的情形，仿真結果如圖9所示。

圖9 情形四捕獲區曲線Fig.9 Curves of the CR in scenario four

圖9中給出了情形四中的捕獲區曲線，針對同一目標，應用RPN作為末制導律的攔截彈初始速度前置角范圍可以設置為[20,215]度，而應用PN作為末制導律的攔截彈初始速度前置角范圍為[0,80]度。根據捕獲區邊界式(32)-(37)和(48)-(53)計算得到PN的捕獲區范圍為[-2.82,82.82]度，RPN的捕獲區范圍為[21.61,218.39]度。從圖9中可以發現，蒙特卡洛仿真得到的捕獲區曲線基本填充滿了理論計算的捕獲區，與理論分析完全吻合，從而證明了捕獲區邊界約束的有效性。

4 結 論

1)在末制導段攔截彈和目標相對運動過程中存在零控攔截條件，如果攔截彈狀態滿足此條件，那么可以在不施加任何制導控制指令的條件下成功攔截非機動目標。

2)零控攔截條件具體可以分為順軌零控攔截條件和逆軌零控攔截條件，此條件由攔截彈與目標的速度比以及二者的速度前置角決定。

3)在(γ,η)平面內，比例導引的捕獲區由逆軌零控攔截曲線以及兩條與其相切且斜率為1/(N-1)的直線構成。反比例導引的捕獲區由順軌零控攔截曲線以及兩條與其相切且斜率為-1/(N+1)的直線構成。

4)比例導引和反比例導引都存在各自的捕獲區約束，如果攔截彈與目標初始條件不滿足零控攔截條件，并且位于捕獲區約束范圍內，那么依靠比例導引和反比例導引可以控制攔截彈分別收斂至逆軌零控曲線和順軌零控曲線附近，確保對目標的成功攔截。

5)針對高速目標攔截的相同作戰條件下，反比例導引的捕獲區要大于比例導引的捕獲區。如果不考慮攔截時間影響，應用反比例導引的制導效果要優于比例導引制導效果。