妙用韋達定理巧解根與系數的關系問題

徐菊萍

法國數學家韋達發現一元二次方程的根與系數之間有著某種特殊關系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，則x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca].用文字語言表述為：一元二次方程中兩根的和等于它的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根的積等于它的常數項除以二次項系數所得的商.我們稱這個結論為韋達定理，妙用韋達定理，常常可以避開繁瑣的求解，找到解題的捷徑.

一、已知方程，求關于方程兩根的代數式的值

【點評】已知一個根，用韋達定理求另一個根時，需要觀察系數特點.若一次項系數是已知數，則用兩根和求另一個根；若常數項是已知數，則用兩根積求另一個根，再用另一組關系求字母系數.以x1，x2為兩根的一元二次方程（二次項系數為1）為：x2-（x1+x2）x+x1x2=0.

（作者單位：南京師范大學附屬蘇州石湖中學）