分數階帶捕獲的Lotka-Volterra生物經濟模型演化研究

胡行華，高雷阜,李莉莉

（1.遼寧工程技術大學 理學院；2.阜新高等專科學校 計算機信息技術系,遼寧 阜新 123000）

1 問題的提出

在經濟社會高速發展的今天，自然資源和生態環境經常遭到破壞，瀕危種群的種類也在逐年遞增，有關資源短缺和環境惡化方面的問題廣受關注。從人類的物質需求和經濟需求來看，對各種各樣生態資源的開采和種群生物的捕獲是不可避免的。但是，肆意的開采和捕獲會造成自然資源和環境的破壞，同時使得瀕危物種的數量逐年遞減。因此，在保護好生態環境和達到資源持久再生的前提下，如何控制開采和捕撈的數量，使資源開發管理達到經濟利益最大化是一項重要的研究課題[1]。

資源更新的最優管理直接關系到資源的可持續性發展，不僅能夠更加豐富現有的理論研究，而且更好的協助于保護生態資源，在生物學和經濟學兩方面都具有重大意義。利用系統動力學理論[2]來研究生物數學中的種群演化發展，在可再生資源的生態方面和經濟方面的綜合研究引起了許多學者的關注[3，4]，特別是，帶捕獲的Lotka-Volterra生物經濟模型[5，6]在維護生態種群平衡問題上起到了相當大的作用，文獻[7]研究了一類只對捕食種群進行捕獲的捕食一食餌兩種群模型，分析了平衡點的存在性和穩定性，得到了最優捕獲策略；文獻[8]研究了食餌種群在一類非線性密度制約下，兩種群均有非常數收獲率的捕食系統，利用微分方程定性與穩定性理論及分支理論，得到系統平衡點的性態，利用Hopf分支理論得到存到多個極限環的充分條件；文獻[9]利用微分代數方程理論研究了一類廣義生物經濟系統的混沌及混沌控制問題，通過利用反饋線性化方法設計控制器，使受控混沌系統的輸出跟蹤期望的恒值或某一期望的周期軌道，可以使處于混沌狀態的生物種群平穩增長，實現生物種群的穩定演化和可持續捕撈。

經典的捕食食餌模型是如下的Lotka-Volterra模型[10]：

其中，x和y分別表示了在t時刻食餌種群的密度、捕食種群的密度，a為食餌種群的固有增長速度，k為食餌種群密度的制約系數（或者是食餌種群的死亡率），d為捕食種群的死亡速度，b為捕食種群的捕食強度。

在模型（1）的基礎上把捕獲的經濟收益考慮進去可以得到帶捕獲的Lotka-Volterra模型[10]：

其中，E為捕獲強度（如出海時間，擁有船只數量等，通常設定0≤E≤1），p為單位食餌捕獲的報酬，c為捕獲花費，v為經濟效益。

帶捕獲的Lotka-Volterra生物經濟模型是人類參與的包含許多主體因素的極其復雜的非線性系統，由于模型的部分變量具有長期的記憶性，運用整數階微積分理論不能描述其變化特性，因而，需要嘗試運用分數階微積分理論建立其非線性動力學模型[11，12]，同時利用系統平衡點的穩定、分岔、混沌等方面的理論來研究模型的內在復雜性。本文在提出模型（2）的分數階代數-微分系統的同時，定性分析該分數階系統平衡點的穩定性、Hopt分岔、混沌等產生的條件，并運用Block-by-Block算法，通過時間序列圖、相圖等對帶捕獲的Lotka-Volterra模型復雜性演化路線進行仿真研究。

2 算法描述

2.1 分數階帶捕獲的Lotka-Volterra模型描述

本文對分數階導數的定義采用如下Caputo定義形式[13]：

其中，n-1＜α≤n，Γ(·)是Gamma函數。

下面給出系統（2）的分數階形式：

其中，0＜β＜1，特殊地，當β=1，則分數階帶捕獲的Lotka-Volterra模型（3）可以退化為整數階帶捕獲的Lotka-Volterra模型（2）。

2.2 Block-by-block算法描述

考慮如下分數階常微分方程組：

滿足初始條件：

其中，u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，um(t))，F=(f1，f2，…，fm)，0用α階Caputo分數階導數定義。則方程組與下面的Volterra積分方程是等價的：

其中，Γ(·)表示Gamma函數。

由Kumar和Agrawall構造的block-by-block算法[14]如下：將區間[0，T]分成2N個等分的子區間，其中：，設tj=jΔt，j=0，1，，2N。記方程在點tj上的數值解為uj，并記Fj=F(tj，u(tj))，假設已經構造出uj，j=0，1，…，2m，則逼近u(t2m+1)和u(t2m+2)的方法如下：

其中，?i，k(t)，i=0，1，2;k=0，1，…，m和?i，m(t)，i=0，1，2為分別定義在點上的二次拉格朗日插值基函數，并且

3 系統平衡點的穩定性分析

為了求系統（3）的平衡點，首先由系統（3）的代數方程可以得到代入到微分方程的右端可以得到系統（3）的平衡點滿足方程組：

解方程組（5）可以得到系統（3）的平衡點為：P1=(0，0)，，由于P1、P2都是極端平衡點（退化平衡點），不利于生態資源的均衡演化。在此主要研究平衡點P3的漸近穩定、Hopt分岔、混沌演化等發生的條件。

在平衡點P3處系統的Jacobian矩陣為：

解得：

由于μ2(v)＞0，所以有：

（1）當μ1(v)＞0，即時，系統的所有特征值具有嚴格負實部。此時，平衡點P3是漸近穩定平衡點；

（2）當μ1(v)=0，即時，系統的特征值是一對共軛純虛根，并且滿足Hopt分岔條件，此時，系統在D(V，δ0)產生Hopt分岔；

（3）當μ1(v)＜0，即時，系統的特征值具有正實部。此時，平衡點P3是不穩定平衡點，會發生混沌等不確定現象。

4 系統演化仿真

下面對系統（3）在平衡點P3附近的演化規律進行研究，對于確定的帶捕獲的Lotka-Volterra模型，其分數階微分系數β已經惟一確定，從而本文僅針對經濟效益v的變化對系統（2）的復雜性演化影響進行仿真。以Matlab2015a為操作平臺，在Intel（R），Pentium（R），Core(TM)i7-3520M CPU，2.9 GHz，4.00 GB內存，Windows7操作系統上執行Block-by-Block算法[13]。

根據模型的實際意義，取系統一組參數為：a=4,k=1,d=2,p=1,c=1；同時取微分階數β=0.95，通過上述系統（3）在平衡點P3附近的演化穩定性分析可以得到：

圖1 經濟效益v=0.87時,圖(a)系統（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統（3）演化的相圖

通過理論分析和圖1可以得出，在此組參數條件下，隨著系統的演化，捕食種群和食餌種群的數量會在P3維持一個穩定的狀態。此時，捕獲者、捕食種群和食餌種群可以長久共存下去，捕獲者可以獲得相應的的最大經濟效益，有利于生態資源的合理利用和健康發展。

圖2 經濟效益v=0.999849時,圖(a)系統（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統（3）演化的相圖

通過理論分析和圖2可以得出，在此組參數條件下，隨著系統的演化，捕食種群和食餌種群的數量會在P3產生Hopt分岔，系統呈現出周期性變化規律，不利于系統的發展和生態資源的穩定。

圖3 經濟效益v=1.01113時,圖(a)系統（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統（3）演化的相圖

通過理論分析和圖3可以得出，在此組參數條件下，隨著系統的演化，捕食種群和食餌種群的數量會在P3產生混沌等不確定現象，無法對該系統的演化發展作出預測，同時整個系統處于處于一種失控狀態，會產生非常大的破壞作用，不利于系統的發展和生態資源的穩定。

5 結論

混沌和分岔是非線性動力系統的一種內在不確定性的體現，是經常出現在非線性系統演化中的一種極其復雜的現象，是非線性系統穩定演化之外的典型形式；控制和避免混沌、分岔等現象才能有利于系統的穩定發展和精確預測。本文在給出分數階帶捕獲的Lotka-Volterra生物經濟系統基礎上，從理論上分析了系統部分平衡點附近漸近穩定狀態、分岔狀態以及混沌狀態的發生條件，同時運用Block-by-Block算法，通過時間序列圖和相圖等作了捕獲者經濟利益的變化對系統演化規律的影響數值仿真，得到了食餌種群持久生存前提下捕獲者的最大經濟效益?？梢詾樯镔Y源的穩定發展和持續捕獲提供理論依據。