分?jǐn)?shù)階帶捕獲的Lotka-Volterra生物經(jīng)濟(jì)模型演化研究

胡行華，高雷阜,李莉莉

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院；2.阜新高等專科學(xué)校 計(jì)算機(jī)信息技術(shù)系,遼寧 阜新 123000）

1 問題的提出

在經(jīng)濟(jì)社會(huì)高速發(fā)展的今天，自然資源和生態(tài)環(huán)境經(jīng)常遭到破壞，瀕危種群的種類也在逐年遞增，有關(guān)資源短缺和環(huán)境惡化方面的問題廣受關(guān)注。從人類的物質(zhì)需求和經(jīng)濟(jì)需求來(lái)看，對(duì)各種各樣生態(tài)資源的開采和種群生物的捕獲是不可避免的。但是，肆意的開采和捕獲會(huì)造成自然資源和環(huán)境的破壞，同時(shí)使得瀕危物種的數(shù)量逐年遞減。因此，在保護(hù)好生態(tài)環(huán)境和達(dá)到資源持久再生的前提下，如何控制開采和捕撈的數(shù)量，使資源開發(fā)管理達(dá)到經(jīng)濟(jì)利益最大化是一項(xiàng)重要的研究課題[1]。

資源更新的最優(yōu)管理直接關(guān)系到資源的可持續(xù)性發(fā)展，不僅能夠更加豐富現(xiàn)有的理論研究，而且更好的協(xié)助于保護(hù)生態(tài)資源，在生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)兩方面都具有重大意義。利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論[2]來(lái)研究生物數(shù)學(xué)中的種群演化發(fā)展，在可再生資源的生態(tài)方面和經(jīng)濟(jì)方面的綜合研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注[3，4]，特別是，帶捕獲的Lotka-Volterra生物經(jīng)濟(jì)模型[5，6]在維護(hù)生態(tài)種群平衡問題上起到了相當(dāng)大的作用，文獻(xiàn)[7]研究了一類只對(duì)捕食種群進(jìn)行捕獲的捕食一食餌兩種群模型，分析了平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，得到了最優(yōu)捕獲策略；文獻(xiàn)[8]研究了食餌種群在一類非線性密度制約下，兩種群均有非常數(shù)收獲率的捕食系統(tǒng)，利用微分方程定性與穩(wěn)定性理論及分支理論，得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性態(tài)，利用Hopf分支理論得到存到多個(gè)極限環(huán)的充分條件；文獻(xiàn)[9]利用微分代數(shù)方程理論研究了一類廣義生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的混沌及混沌控制問題，通過(guò)利用反饋線性化方法設(shè)計(jì)控制器，使受控混沌系統(tǒng)的輸出跟蹤期望的恒值或某一期望的周期軌道，可以使處于混沌狀態(tài)的生物種群平穩(wěn)增長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)生物種群的穩(wěn)定演化和可持續(xù)捕撈。

經(jīng)典的捕食食餌模型是如下的Lotka-Volterra模型[10]：

其中，x和y分別表示了在t時(shí)刻食餌種群的密度、捕食種群的密度，a為食餌種群的固有增長(zhǎng)速度，k為食餌種群密度的制約系數(shù)（或者是食餌種群的死亡率），d為捕食種群的死亡速度，b為捕食種群的捕食強(qiáng)度。

在模型（1）的基礎(chǔ)上把捕獲的經(jīng)濟(jì)收益考慮進(jìn)去可以得到帶捕獲的Lotka-Volterra模型[10]：

其中，E為捕獲強(qiáng)度（如出海時(shí)間，擁有船只數(shù)量等，通常設(shè)定0≤E≤1），p為單位食餌捕獲的報(bào)酬，c為捕獲花費(fèi)，v為經(jīng)濟(jì)效益。

帶捕獲的Lotka-Volterra生物經(jīng)濟(jì)模型是人類參與的包含許多主體因素的極其復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，由于模型的部分變量具有長(zhǎng)期的記憶性，運(yùn)用整數(shù)階微積分理論不能描述其變化特性，因而，需要嘗試運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立其非線性動(dòng)力學(xué)模型[11，12]，同時(shí)利用系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定、分岔、混沌等方面的理論來(lái)研究模型的內(nèi)在復(fù)雜性。本文在提出模型（2）的分?jǐn)?shù)階代數(shù)-微分系統(tǒng)的同時(shí)，定性分析該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Hopt分岔、混沌等產(chǎn)生的條件，并運(yùn)用Block-by-Block算法，通過(guò)時(shí)間序列圖、相圖等對(duì)帶捕獲的Lotka-Volterra模型復(fù)雜性演化路線進(jìn)行仿真研究。

2 算法描述

2.1 分?jǐn)?shù)階帶捕獲的Lotka-Volterra模型描述

本文對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義采用如下Caputo定義形式[13]：

其中，n-1＜α≤n，Γ(·)是Gamma函數(shù)。

下面給出系統(tǒng)（2）的分?jǐn)?shù)階形式：

其中，0＜β＜1，特殊地，當(dāng)β=1，則分?jǐn)?shù)階帶捕獲的Lotka-Volterra模型（3）可以退化為整數(shù)階帶捕獲的Lotka-Volterra模型（2）。

2.2 Block-by-block算法描述

考慮如下分?jǐn)?shù)階常微分方程組：

滿足初始條件：

其中，u(t)=(u1(t)，u2(t)，…，um(t))，F(xiàn)=(f1，f2，…，fm)，0用α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義。則方程組與下面的Volterra積分方程是等價(jià)的：

其中，Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

由Kumar和Agrawall構(gòu)造的block-by-block算法[14]如下：將區(qū)間[0，T]分成2N個(gè)等分的子區(qū)間，其中：，設(shè)tj=jΔt，j=0，1，，2N。記方程在點(diǎn)tj上的數(shù)值解為uj，并記Fj=F(tj，u(tj))，假設(shè)已經(jīng)構(gòu)造出uj，j=0，1，…，2m，則逼近u(t2m+1)和u(t2m+2)的方法如下：

其中，?i，k(t)，i=0，1，2;k=0，1，…，m和?i，m(t)，i=0，1，2為分別定義在點(diǎn)上的二次拉格朗日插值基函數(shù)，并且

3 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

為了求系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)，首先由系統(tǒng)（3）的代數(shù)方程可以得到代入到微分方程的右端可以得到系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)滿足方程組：

解方程組（5）可以得到系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)為：P1=(0，0)，，由于P1、P2都是極端平衡點(diǎn)（退化平衡點(diǎn)），不利于生態(tài)資源的均衡演化。在此主要研究平衡點(diǎn)P3的漸近穩(wěn)定、Hopt分岔、混沌演化等發(fā)生的條件。

在平衡點(diǎn)P3處系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

解得：

由于μ2(v)＞0，所以有：

（1）當(dāng)μ1(v)＞0，即時(shí)，系統(tǒng)的所有特征值具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部。此時(shí)，平衡點(diǎn)P3是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

（2）當(dāng)μ1(v)=0，即時(shí)，系統(tǒng)的特征值是一對(duì)共軛純虛根，并且滿足Hopt分岔?xiàng)l件，此時(shí)，系統(tǒng)在D(V，δ0)產(chǎn)生Hopt分岔；

（3）當(dāng)μ1(v)＜0，即時(shí)，系統(tǒng)的特征值具有正實(shí)部。此時(shí)，平衡點(diǎn)P3是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，會(huì)發(fā)生混沌等不確定現(xiàn)象。

4 系統(tǒng)演化仿真

下面對(duì)系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)P3附近的演化規(guī)律進(jìn)行研究，對(duì)于確定的帶捕獲的Lotka-Volterra模型，其分?jǐn)?shù)階微分系數(shù)β已經(jīng)惟一確定，從而本文僅針對(duì)經(jīng)濟(jì)效益v的變化對(duì)系統(tǒng)（2）的復(fù)雜性演化影響進(jìn)行仿真。以Matlab2015a為操作平臺(tái)，在Intel（R），Pentium（R），Core(TM)i7-3520M CPU，2.9 GHz，4.00 GB內(nèi)存，Windows7操作系統(tǒng)上執(zhí)行Block-by-Block算法[13]。

根據(jù)模型的實(shí)際意義，取系統(tǒng)一組參數(shù)為：a=4,k=1,d=2,p=1,c=1；同時(shí)取微分階數(shù)β=0.95，通過(guò)上述系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)P3附近的演化穩(wěn)定性分析可以得到：

圖1 經(jīng)濟(jì)效益v=0.87時(shí),圖(a)系統(tǒng)（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統(tǒng)（3）演化的相圖

通過(guò)理論分析和圖1可以得出，在此組參數(shù)條件下，隨著系統(tǒng)的演化，捕食種群和食餌種群的數(shù)量會(huì)在P3維持一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。此時(shí)，捕獲者、捕食種群和食餌種群可以長(zhǎng)久共存下去，捕獲者可以獲得相應(yīng)的的最大經(jīng)濟(jì)效益，有利于生態(tài)資源的合理利用和健康發(fā)展。

圖2 經(jīng)濟(jì)效益v=0.999849時(shí),圖(a)系統(tǒng)（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統(tǒng)（3）演化的相圖

通過(guò)理論分析和圖2可以得出，在此組參數(shù)條件下，隨著系統(tǒng)的演化，捕食種群和食餌種群的數(shù)量會(huì)在P3產(chǎn)生Hopt分岔，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期性變化規(guī)律，不利于系統(tǒng)的發(fā)展和生態(tài)資源的穩(wěn)定。

圖3 經(jīng)濟(jì)效益v=1.01113時(shí),圖(a)系統(tǒng)（3）各分量演化序列圖,圖(b)系統(tǒng)（3）演化的相圖

通過(guò)理論分析和圖3可以得出，在此組參數(shù)條件下，隨著系統(tǒng)的演化，捕食種群和食餌種群的數(shù)量會(huì)在P3產(chǎn)生混沌等不確定現(xiàn)象，無(wú)法對(duì)該系統(tǒng)的演化發(fā)展作出預(yù)測(cè)，同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于處于一種失控狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生非常大的破壞作用，不利于系統(tǒng)的發(fā)展和生態(tài)資源的穩(wěn)定。

5 結(jié)論

混沌和分岔是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種內(nèi)在不確定性的體現(xiàn)，是經(jīng)常出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)演化中的一種極其復(fù)雜的現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)穩(wěn)定演化之外的典型形式；控制和避免混沌、分岔等現(xiàn)象才能有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定發(fā)展和精確預(yù)測(cè)。本文在給出分?jǐn)?shù)階帶捕獲的Lotka-Volterra生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)基礎(chǔ)上，從理論上分析了系統(tǒng)部分平衡點(diǎn)附近漸近穩(wěn)定狀態(tài)、分岔狀態(tài)以及混沌狀態(tài)的發(fā)生條件，同時(shí)運(yùn)用Block-by-Block算法，通過(guò)時(shí)間序列圖和相圖等作了捕獲者經(jīng)濟(jì)利益的變化對(duì)系統(tǒng)演化規(guī)律的影響數(shù)值仿真，得到了食餌種群持久生存前提下捕獲者的最大經(jīng)濟(jì)效益。可以為生物資源的穩(wěn)定發(fā)展和持續(xù)捕獲提供理論依據(jù)。