基于區間數信息的群決策逆判方法

陳 巖，李明月，曲家杰

（沈陽工業大學 理學院，沈陽 110870）

0 引言

自美國學者Saaty[1]提出層次分析法以來，群決策過程中專家的權重以及專家的決策水平就成為了決策研究領域的一個研究重點。群決策逆判方法（或逆判問題）就是評判群決策過程中各個決策專家的判斷水平問題。關于群決策逆判問題，劉萬里[2,3]采取方差分析以及相似關系、模糊傳遞閉包方法，給出群決策過程中AHP判斷矩陣的逆判問題的分析方法。陳巖等[4,5]則通過改進的統計分析法解決了基于模糊互補判斷矩陣和語言信息判斷矩陣群決策逆判問題。針對基于模糊互補信息的群決策逆判方法，陳俠等[6]利用相對偏差給出了一種改進方法。此外，針對基于直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題，鞏在武等[7]等利用相關度給出了分析方法。針對區間直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題，夏梅梅等[8]給出了基于相似度的分析方法。陳巖等[9]針對直覺模糊決策矩陣信息給出了基于相似度量的群決策逆判方法。

近年來，有關區間數不確定信息的排序以及群決策一致性問題研究取得了一些重要研究進展，而基于區間數不確定信息判斷矩陣的群決策逆判問題研究工作所見甚少。本文首先將區間數的不確定偏好信息轉換為互反判斷矩陣，進一步利用方差度量分析方法對專家的評判水平進行判斷、排序以及分類。最后用一個算例說明了這種方法的實用性和有效性。

1 基本概念和定義

為敘述方便，記N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}。設在群決策問題中決策方案集為X={x1，x2，…，xn}(n≥2)，xi為第i個決策方案；專家集為E={e1，e2，…，em}(m≥2)，ek為第k位決策者。以下給出有關概念的簡單描述。，其中元素表示方案xi對方案xj的相對重要程度，矩陣Ak滿足：＞0 ，

定義1[1]：設決策者ek針對方案集X給出了一個兩兩方案比較判斷矩陣為，?i，j∈N，稱為互反判斷矩陣。

定義2：設R為實數集，稱閉區間[aL，aU]為區間數，用aˉ表示。其中aL、aU∈R，aL≤aU，分別為區間數的左、右端點。特別的，若 0＜aL≤aU，則稱閉區間[aL，aU]為正區間數。

定義3：設決策者ek針對方案集X給出的區間數評價向量為其中和為實數型數值，且

定義4：稱直積X×X上的一個模糊子集P：X×X→為X中的模糊關系。

為敘述方便，設pij=up(xi，xj)，pij表示方案xi與方案xj的重要性程度的比較，并規定：

（1）pij=0.5，表示方案xi與方案xj重要性程度無差別；

（2）0≤pij＜0.5，表示方案xi沒有xj重要，且pij越小，方案xi越不重要；

（3）0.5＜pij≤1，表示方案xi比xj重要，且pij越大，方案xi越重要；

定義5：若比較判斷矩陣P=[pij]n×n滿足下列性質：

（1）pii=0.5

（2）pji+pij=1，?i，j;i≠j

稱矩陣P為模糊互補判斷矩陣或互補判斷矩陣。

定義6：若模糊互補判斷矩陣P=[pij]n×n滿足：

pik+pkj=pij+0.5，?i，j，k

則稱矩陣P是完全一致性的或是一致性互補判斷矩陣。

2 區間數評價值與互反判斷矩陣的轉換

專家ek所給出的區間數評價信息向量，每個方案的評價值可以認為是一個區間，通過區間數比較[14]將區間數評價信息轉化為兩兩比較的互反判斷矩陣評價信息形式，記為其中：

在式（1）中，表示區間數優于區間數的可能度，即專家ek關于方案xi重要性優于方案xj的程度的評價信息，容易證明矩陣Q為互反判斷矩陣。

3 基于區間數信息的群決策過程中專家逆判方法

3.1 正互反矩陣的特征向量的近似計算

求解正互反矩陣特征值、特征向量的和積法近似計算公式如下：

3.2 基于互反矩陣的數理統計分析

對于特征向量W=(ω1，...，ωn)T，由其構造的互反矩陣是完全一致的。然而在實際應用中互反矩陣A=(aij)n×n一般不具有一致性，因此互反矩陣A的元素與的對應元素之間關系由以下式子近似描述：

顯然，當εij=1互反矩陣A是完全一致性的。

引理 1[1]：當δij∈(- 1，1) 時j=1，2...，n。其中C.I.為一致性指標。

定義 7：矩陣 ΔAk=[δkij]n×n稱為矩陣A的偏差矩陣，

引理 2：若δij～N(0 ，σ2)(1 ≤i＜j≤n)且相互獨立，則

定理1：互反矩陣A是完全一致性的充要條件是χ2=0。證明：若互反矩陣A為完全一致性的，則，偏差矩陣 ΔA為零陣，即δij=0，易得χ2=0。反之，若χ2=0，則中的各項均為零，即δij=0，易得，由定義互反矩陣A是完全一致的。

如果互反判斷矩陣Q為滿意一致性的，由判斷矩陣的一致性性質，那么χ2的樣本觀察值應當較小。進一步，可以視為度量決策者所做決策與一致性決策的偏離程度的統計量，其估計量越小，專家ek的評判水平就越高，因此，偏離度就可作為評判專家ek判斷水平的一個標準。

通過計算的極大似然估計量，可以評價群決策決策專家們的判斷水平，但群決策專家們實際評判水平差異是否顯著仍需檢驗。

為敘述問題方便，設群決策中m位專家的方差估計量分別為，選用統計量，由假設檢驗理論可得如下結論：

根據該結論，可兩兩比較方差估計值檢驗決策專家的評判水平差異是否顯著，方法如下，作假設檢驗：

取顯著性水平α，若估計值則認為專家ek、ek+1處于同一檔次；若估計值F＞Fα，則認為專家ek的評判水平比專家ek+1評判水平明顯高，即專家ek、ek+1評判水平不處在同一個檔次上。經過兩兩比較可以將m位專家的評判水平分成若干檔次。

3.3 逆判方法

根據前面的分析，基于區間數不確定信息的群決策逆判分析方法為：

（1）根據公式（1）將區間數評價值轉換為互反判斷矩陣；

（2）計算 ΔAk，k=1，2，…，m；

（4）對專家評價水平進行排序。越小，相應的評價水平越高；

4 算例

現設有六位專家 {e1，e2，e3，e4，e5，e6} 對四個方案其進行評判。其評價值以區間數形式表示，如表1所示。

表1 區間數

步驟1：由公式（1）將區間數評價信息轉化為互反判斷矩陣：

步驟2：由公式（2）用和積法求互反判斷矩陣最大特征值、特征向量：

步驟3：計算偏差

步驟4：比較分類

n=4，取臨界值α=0.05=F0.05(6，6)=4.28。

由此可得e2評判水平最高，e5次之，e4評判水平最低，分類如下：(e2，e5，e6)，(e3)，(e1，e4)。

5 結論

針對基于區間數不確定信息的群決策逆判方法，本文通過方差估計量、假設檢驗方法給出了逆判問題分析方法。最后通過算例顯示了該分析方法的有效性和實用性。該統計分析方法操作簡單、易于掌握，為逆判問題進一步深入研究提供了一種有效的工具。