“疑探并舉”出新知

王歡

摘 要：為適應中國教育發展的需要，近十年來，全國先后涌現出眾多新型教學模式，以河南省西峽第一高級中學為代表的“三疑三探”教改模式就是其中之一。目前，“三疑三探”教學模式已被命名為“河南教育名片”推向全國，有幸前往該中學進行為期三個月的教育實習，對“三疑三探”教改模式進行了研究，現結合一則課堂實錄來談一些粗淺的想法，以求拋磚引玉。

關鍵詞：教改；疑探并舉；教學

一、“疑探并舉”內涵

“三疑三探”教學模式包括“設疑自探”“解疑各探”“質疑再探”三個環節，通過疑問與探究相結合的教學手段，促進學生學會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題，同時養成敢于質疑、善于表達、認真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質和習慣.

二、課堂實錄一則

（一）給出例題，解疑合探

例題 已知x>0，y>0且2x+8y-xy=0，求x+y的最值.

T：思考，盡可能想出更多的解法.

S1：（解法一）由2x+8y-xy=0知+=1，

故x+y=（x+y）（+）=10+（+），

由基本不等式知（+）≥2=8，

故x+y≥10.

T：利用基本不等式求出了最小值，是一種常見的解法，還有疑問嗎？

S2：沒有驗證等號成立條件，當x=2y時取等號.

T：S2同學很細心，等號成立條件很重要，這是個容易忽略的地方，需要特別注意.

S3：用基本不等式只能求出最小值，怎么來證明沒有最大值呢？

S4：由+=1知，如果令x=8，為了滿足等式成立條件，須y∞+∞，此時（x+y）∞+∞，故沒有最大值.

S5：我還想到了另外一種解釋，基本不等式其實就是對勾函數的一種特例，令t=（t≥0），可知x+y=10+（t+），此時化成一個關于t的對勾函數，根據函數圖象可知，值域為[18，+∞），即無最大值.

T：這兩位同學分別從兩個角度來說明問題，第一位同學使用了數學中極限的思想，第二位同學對基本不等式的本質，即對勾函數，有很深刻的理解.

S6：我也利用基本不等式解出了這道題目，由2x+8y-xy=0知8-xy≤0，進而≥8，故x+y≥2≥16，求出最小值為16.

T：這位同學用了兩次基本不等式，進而求出最值.

S7：為什么兩種做法得到的答案不同呢？

S8：（馬上回答）他的做法不對，在第一次使用基本不等式等號時成立的條件是2x=8y，而第二次是x=y，顯然兩者不可能同時滿足，故等號條件無法成立.

T：不錯，利用基本不等式求最值，一定要注意三個基本條件，特別是在多次使用基本不等式的時候，一定要注意等號成立條件是否相同.

S9：（解法二）由2x+8y-xy=0知，（x-2）（y-8）=xy-2x-8y+16=16，故（x-2）+（y-8）≥2=8，x+y≥18.

T：S9同學非常聰明，巧妙地運用了配湊的方法進行求解.配

湊法是一種較為高級的方法，需要平時的積累加上一定的靈感.

S10：（解法三）由2x+8y-xy=0知，y=，此時，f（x）=x+==（x-8）++10，由x>0知x-8>-8，故f（x）∈（-∞，2]∩[18，+∞），無最值.

T：用含有x的代數式表示y，進行替換，再利用基本不等式求最值，這也很常用的一種解法，可是得到的答案與前面不妥，他的解法有什么不妥的地方嗎？

S11：我認為他做得不對，當得到y=時，因為y>0，故>0，從而x>8，此時，x+y的范圍是[18，+∞），與前兩種解法的答案就一致了.

T：很好，S10同學只看到了題目中x>0的條件，而S11同學能看到隱含的條件y=>0，這也提醒我們在做題的時候要注意挖掘隱含條件.

（二）教師引導，質疑再探

T：以上的第一、第三種解法都是解決此類題目的常用方法，現在請大家回過頭來再看解題方法、過程，勇于提出你的疑問，進而探尋解法背后更加深刻的數學本質.

S12：第一種解法使用的是基本不等式，但是只有一個最值，而且這個最值還需要在等號成立的條件下才能求出，這就為解題帶來了不便，在第一種解法中，可以明顯感覺到這一點，我認為，基本不等式既然源于對勾函數，那么它的數學本質就應該是函數，求此類最值問題，也就轉化為求對應函數在所給區間上的最大值和最小值.

S13：我同意上一位同學的觀點，運用基本不等式求解還有另外一個難點，就是如何配湊成標準形式，這需要一定的技巧，往往不容易想到.

T：以上兩位同學對第一種解法的本質把握得非常到位，需要提醒的一點是S12同學在表述上有點問題，“最值”是函數性質的

一個特定名稱，這也提醒我們在學習數學的時候一定要注意語言的嚴謹性.函數思想是貫穿高中數學的一條主線，通過基本不等式這一章的學習，大家需要進一步加強對對勾函數的掌握.

S14：老師，可不可以把所求的代數式x+y看作是一個關于兩個變量x和y的函數解析式，進而把求x+y的范圍轉化為求一個關于兩個變量的函數在定義域上的值域？

T：這位同學提出了一個很大膽的想法，把所求看出函數，也就是f（x，y）=x+y，這是函數嗎？如果是函數，它又是什么函數呢？

S15：我認為f（x，y）=x+y是一個關于兩個變量的函數，之前我們學習的都是關于一個變量的函數，叫做一元函數，那么這個就應該是二元函數.

T：很好，有同學已經給出了這種函數的名字，同學們準備如何來研究二元函數呢？

S16：根據以前學習函數的經驗，我認為可以先作出函數的圖象，然后直接找出在給定定義域內函數的值域即可.

T：這是一種很好的思路，只可惜以我們現在的知識還不能直接作出二元函數的圖象，還有同學有其他思路嗎？

S17：學完一元方程，學習二元方程的時候，使用的方法是“消元法”，這種消元的思想可以用來求解二元函數的值域，例如，例題中的第三種做法使用的是代換的方法，將y=代入f（x，y）=x+y得到f（x）=x+，即轉化為求一元函數f（x）在[8，+∞）的值域.其數學本質就是消元的思想.

T：很好，這位同學用類比的方法，找到了求解二元函數的一種方法——“消元法”，消元的目的是將二元函數轉化為所熟悉的一元函數來求解.今天，我們首次給出二元函數這個概念，請同學們總結一下，在不等式這一章，還遇到過哪些二元函數的題目呢，又是如何求解的呢？

S18：題目：已知a≥0，b≥0，a+b=1，求+的范圍.解法：通過基本不等式或消元法求解.

S19：題目：已知x，y滿足條件x-2y+7≥04x-3y-12≤0x+2y-3≥0，求（1）z=；（2）z=；（3）z=x2+4x+y2的取值范圍.解法：運用幾何意義求解.

T：通過解答同學們給出的題目，我們進一步認識了二元函

數，同時也總結出了求解二元函數給定條件求最值問題的三種常用解法，即消元法、基本不等式法和幾何意義法.同學們今后見到有關二元函數問題時，要注意總結做法.在這個題目的三種不同解法中，函數思想作為連接其中的紐帶，使得各種做法之間又相互聯系，使得數學這門課程更加縝密！這也要求同學們在以后的學習中在注重一題多解的同時，也要思考如何多解歸一，體會數學學習的樂趣.

三、小節

認知心理學家認為，創新來自基本的認知過程，就本質而言，創新是廣義的認知，當原認知結構進行內化（推理）時出現斷線（疑問），二者都必須借助質疑、解疑才能重新建構，進而融會貫通，建立新認知結構.

在自由質疑、解疑合探的過程中，一方面，教師更容易發現學生數學認知結構的斷鏈處，從而進行有效的彌補（例如S5同學在使用兩次基本不等式時沒有考慮等號成立條件，暴露出他的認知結構中“未能理解基本不等式的數學本質”的問題）；另一方面，學生對原有認知結構中內容、關系重新審視反思，可能有所發現、創新，從而進行數學知識、結構的重新建構.（例如同學創新性地提出二元函數這個概念，在眾人合力探索之下，總結歸納出求解二元函數條件極值的幾種常見方法）.由此可見，創新始于質疑，終于探索，要想創新必先敢于質疑，想要創新必先勇于探索.“三疑三探”教學模式之所以能夠培養出創新性人才，其本質盡在“疑探并舉”中.

參考文獻：

[1]楊文普.如何正確運用“三疑三探”教學模式[N].中國教育報，2008-10-10.

[2]孫旭花.質疑，學會認知、學會創新的突破口[J].數學教學，2000（2）：23-25.

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