基于化歸思想的高中數學教學設計

李德福

摘 要：數學是高中階段一門非常重要的學科。為了有效培養學生的數學素質和解題能力，化歸思想在高中數學的教學設計中，起到了非常大的作用。文章介紹了化歸思想在高中數學教學設計中的運用，和它在培養學生思維能力和解題能力中的作用。

一、問題簡單化

高中數學當中，很多問題的邏輯都非常強，所以學生理解起來有一定的難度，但是運用了化歸思想的教學設計，將復雜的問題轉化成為簡單、容易解決的問題，然后再將分出來的小問題逐個解決，從而可得出解題思路。

比如：已知y=logα（2-ax）在[0，1]上是x的減函數，則α的取值范圍是（ ）。

A. （0，1） B.（1，2）

C. （0，2） D.（2，+∞）

解：可以將函數y=logα（2-ax）轉化成為兩個簡單的函數① y=logαt與②t=2-ax，x∈[0，1]來考慮。因為a>0，所以t=2-ax，x∈[0，1]為減函數，由符合函數的單調性得到y=logαt一定是增函數，所以a>1；又因為t=2-ax，x∈[0，1]為減函數，且2-ax>0，所以在x=1的時候，2-a>0，所以a<2。綜上所述，1

二、未知問題已知化

在高中階段的數學教學中，在解決很多數學問題的時候，因為題目十分復雜，有很多未知的問題，所以可以將這些未知的問題進行分解轉化為已知問題，對已知問題的解決方法進行運用，可以解決問題。

比如：甲乙兩地相距5千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過c千米/每小時，已知汽車每小時的運輸成本由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元。

（1）把全程運輸成本y元表示為速度v的函數，并且指出這個函數的定義域。

（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應該以多大的速度行駛？

解：（1）根據題意得知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為s/v，全程運輸成本為y=a*s/v+bv2*s/v=s（a/v+bv），所以所求函數及其定義域為y=s（a/v+bv），v∈（0，c]；

（2）讀題所得，s、a、b、v都為正數，所以s（a/v+bv）≥2s√ab。

當且僅當a/v=bv，即v=√a/b的時候上述等號成立。

如果√a/b≤c，則當v=√a/b的時候，全程運輸成本y最小。

如果√a/b>c，則當v∈（0，c]的時候，有

s（a/v+bv）-s（a/c+bc）=s[（a/v-a/c）+（bv-bc）]= svc（c-v）（a-bcv）

因為c-v≥0，并且a>bc2，所以a-bcv≥a- bc2>0，所以s（a/v+bv）≥s（a/c+bc），并且只有在v=c的時候等號成立，也即當v=c的時候，全程運輸成本y最小。綜上所述，為了使全程運輸成本y最小，當√ab/b≤c時行駛速度為v=√ab/b；當√ab/b>c的時候，行駛速度為v=c。

三、經典數學方法中化歸思想的體現

在高中的數學教學過程中，化歸思想的應用非常廣泛，化歸思想不只是一種解題的方法，也是解決問題的突破口。通常學生在解決問題的時候選擇運用化歸思想。但是在實際的情況當中將化歸思想僅僅用來解決問題是遠遠不夠的，很多傳統的數學教學方式都能夠明顯地看到這種思想的體現與應用。

在數學的教學過程中有很多非常精髓的方法，比如，數學歸納法，在高中的數學教學中通過這種方法對問題展開相應的介紹，這種方法本身就是化歸法的直觀體現，并且通過對現象的分析與歸納，從而得出相關的結論，這種方法就是經典的復雜問題簡單化，未知問題已知化，這也是化歸思想的精髓。在教學的設計過程中，可以先提出問題，不用急于讓學生去解決問題，可以先讓學生通過思考，找到問題的突破口，思考能夠用什么樣的方法來解決這個問題。學生在這個問題上探討如果發生分歧，學生通過不同的方式來對問題進行探討分析，這樣的教學方式才是最有意義的，學生提出自己方法的過程就是一個積極思考的過程。所以，在這個過程當中，教師不能夠否認任何一個答案，而需要通過證明過程讓學生自己判斷運用什么樣的解題思路和解題方式，這才是最科學合理的，通過這樣的教學方式，讓學生對歸納法的應用有更深的理解和體會。

四、知識點的教學中化歸思想的應用

高中階段，數學是非常復雜的，并且很多的知識點都是連貫在一起的，如果有一個知識點沒有理解透徹，也許在解題的過程中就會遇到很多的問題。學生要想掌握并且加以運用這些問題是非常困難的，化歸思想就是非常有代表的一種，以“等比數列”的教學過程為例，等比數列是高中數學中非常重要的一個知識點，并且這個知識點涉及的問題也是多種多樣的。從教學的過程中可以看出學生都認為在解決等比數列問題的時候，計算能力不能被忽視，并且大多數的學生都將計算作為了解等比數列的重要因素，這樣的思想是偏頗的。等比數列的問題可以很好地鍛煉學生的思維能力，從某種程度上來說，學生所具備的思維將直接決定學生在解決實際問題時候的效率。但是化歸思想的掌握往往能夠讓學生的思維能力得到有效的提升。

比如：設數列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n≥2），其中t>0為已知常數。

求證：數列{an}是等比數列。

設{an}的公比為f（t），作為{bn}，使b1=1，bn=f（1/bn-1）（n≥2），求bn的通項bn。

這是非常典型的等比數列問題，在與學生進行探討的時候，需要通過邏輯思維對學生進行相關解題思路的引導，并且幫助學生理清解題的方法，以看到復雜的數列之后的本質，這就是典型的化歸思想的應用，可以幫助學生對問題作出準確判斷，以及在解決問題的時候能夠理清楚問題，這樣就能夠解決問題了。

五、 應用化歸思想

在現階段的教學體制當中，教師在數學的課堂教學當中，需要把學生作為課堂的主體，教師作為引導，從學生的角度出發，引導學生學習應用化歸思想的解題方法。并且讓學生逐漸轉向用化歸法進行解題。比如，在學習幾何知識的過程中，對復雜的空間立體圖形進行解析，學生需要學會將空間立體圖形的內容轉化為簡單的平面圖形，然后再對圖形進行分析解決。在解題的過程當中，教師需要引導學生通過利用化歸思想，找到轉化的關鍵，也就是將空間轉化為簡單的平面基本圖形，然后通過對簡單的平面圖形進行分析，從而解決問題得到最終的答案。在數學的教學過程中，教師在設計教學方案的時候，需要有意識地將化歸思想進行教學，徹底、詳細地分析整個化歸思想的概念，以及應用范圍等。不管是在什么時候，都需要將化歸思想進行滲透，從而提升學生在數學學習過程中的效率，解決學生對難題無從下手的問題。

六、結語

化歸思想在高中數學當中的應用能夠有效提升教師的教學質量和教學效率。與此同時，還能夠培養學生的邏輯思維能力以及在遇到難題的時候的解題能力。通過對化歸思想的運用，將化歸思想的特點在數學中展示得淋漓盡致，并且靈活地解決數學問題，提高解決數學問題的應變能力和解題技巧。

參考文獻：

[1]楊 威，張同語.《兩角和與差的余弦函數》的教學設計[J].教育文匯，2015（2）：34-35.

[2]劉 運.化歸思想對高中數學教學的指導研究[D].西安：陜西師范大學，2014.