挖掘數學文化內涵 改革數學教學實踐

楊濤 殷嫻

解析幾何是數學最基本的分支學科之一，是近代變量數學發展史上一個重要的里程碑，是數學方法論上一次大的飛躍，也是科學技術最基本的數學工具之一。本文通過追溯解析幾何產生和發展的歷史，剖析其核心概念和基本思想，挖掘其蘊含的文化內涵，以改革平面解析幾何的教學實踐。

《普通高中數學課程標準》明確提出：數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。為此，高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出“數學文化”的學習要求，設立“數學史選講”等專題。

解析幾何是17世紀最重要的數學成就之一，在數學史上具有劃時代的意義，具有豐富的文化價值和教育價值。高中階段設置平面解析幾何課程，對學生的科學素養、文化認知水平的提高有著特殊的教育意義。

1 解析幾何產生和發展的歷史背景

數學史上，笛卡兒與費馬被公認為解析幾何的共同創始人。1637年，笛卡兒發表了《幾何學》，1679年法國數學家費馬發表了《平面與立體軌跡引論》（完成于1636年以前），他們在同一時期從不同的角度闡述了解析幾何原理，他們的這種不約而同，蘊含著解析幾何思想產生的深刻歷史文化背景。

十七世紀，歐洲社會孕育著空前的變革活力，文藝復興使科技文明獲得新生。新的生產技術的應用也帶來了許多實際問題，要求數學給予理論上的證明；天文學、力學等一系列的新發現，航海、軍事的需要，使計算成為必需，對數量工具的需求變得非常迫切。當時的數學是一個幾何體系，其核心是歐氏幾何，代數則居于附庸的地位。歐氏幾何雖有嚴密的公理化邏輯體系，但僅局限于對直線和圓所組成圖形的演繹，面對橢圓、拋物線這些新奇圖形，要求數學從運動變化的觀點研究問題，歐氏幾何顯得力不從心，于是促使人們去尋找解決問題的新方法。

笛卡兒和費馬恰恰就生活在這樣一個時代。笛卡兒（Descartes），他以哲學家的眼光審視數學，堅信只有數學可以提供獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法。他研究數學，目的是想尋找一種能在一切領域里建立真理的方法。他懷疑批判，認為以往的幾何、代數研究存在很大的缺陷：歐氏幾何中沒有普適的證明方法，而代數方法雖具一般性，但它完全受控于法則和公式，代數與幾何必須互相取長補短。他推崇代數的力量，認為代數方法在提供廣泛的方法論方面要高于幾何方法，因此代數具有作為一門普遍的科學方法的潛力。于是，他提出了一個計劃，即任何問題→數學問題→代數問題→方程求解。

費馬（Fermat），他提出要發起一個關于軌跡的一般研究，并考慮用代數來研究曲線。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出現兩個未知量，就可以用其中一個量來描繪一條直線或曲線所表示的軌跡。費馬明確使用了坐標概念，把希臘數學中使用立體圖苦心研究所發現的曲線的特征，通過引進坐標以一貫的方式譯成代數語言，進而研究曲線的性質，使得各種不同的曲線有了代數方程這種一般的表示方法和統一的研究手段，實現了幾何問題的代數化。

與任何新的發明創造一樣，解析幾何思想的形成也是經歷了時間的檢驗才為數學界所認可的。人們開始使用它，并在解析幾何思維方式的影響下進一步發展它。例如：John Wallis在《論圓錐曲線》中第一次得到圓錐曲線的方程，他強調代數推理是獨立有效的，并不需要依靠幾何的證實；Newton在《流數法與無窮級數》中第一次引進了類似于極坐標系的新坐標系；Jacob Hermann用極坐標研究曲線，還給出了從直角坐標到極坐標的變換公式；Euler在他的名著《引論》中引進了曲線的參數表示，對平面解析幾何進行了系統討論；進一步地，空間解析幾何也得到了很大的發展，Clairaut在《關于雙重曲率曲線的研究》一書中，給出了一些曲面的方程……解析幾何內容得到了不斷的充實和完善。

2 解析幾何的核心概念和基本思想

解析幾何得以建立，需要有一定的基礎，即建立實數與直線上的點以及有序實數對與平面上的點之間的一一對應。很早以前人們就有了初步的坐標觀念，例如古埃及人和羅馬人用于測量、希臘人用于繪制地圖的坐標，14世紀法國人奧雷姆試圖用圖線來表示變量之間的關系等。但在明確提出上述兩個對應之前，人們無法用代數方法來研究幾何問題。

笛卡兒和費馬解決了貫徹這兩個對應的方法問題，那就是建立坐標系。利用坐標系將點表示為有序數組，建立平面上的點與有序數組之間的一一對應，由此將曲線（包括直線）表示為一個方程，然后借助于代數的運算和變換，對這些數、代數式及方程之間的關系進行討論，再把討論的結果翻譯成相應的幾何結論。通過坐標系建立曲線（包括直線）與方程的相互聯系，實現幾何問題的代數化和代數問題的幾何化，使幾何和代數得以關聯，實現數與形的完美結合。

3 解析幾何蘊含的文化內涵

首先，從數學哲學的角度看，解析幾何的產生和發展折射出數學的內在本質：數學是一種文化的積淀、傳承和發展，它受惠于歷史并創造歷史。數學是一種理性精神，它給人們數學地探索宇宙以信念。統一是數學的美學要求，追求統一是數學活動的本質，對數學對象和本質的價值評價是數學發展的動力。

其次，從數學自身發展的角度看，解析幾何產生和發展的歷史體現了數學的科學價值：（1）變量的引入開創了近現代數學的先河。笛卡兒將二元方程 中的 看作變量（盡管他未使用這個術語），實現了由常量數學過渡到變量數學的轉折，使以往數學中無法描述的動態問題通過變量得以解決，使數學研究擴充到了運動領域，宣告運動數學進入了新時代。恩格斯指出：“數學中的轉折點是笛卡兒變數。有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了……”（2）數與形的結合揭示了數學內在的統一性。在解析幾何基本思想的指引下，一個幾何對象被數（坐標）所完全刻畫，幾何概念可以表示為代數形式，幾何目標可以通過代數方法來達到；反過來，它使代數語言得到了幾何解釋，從而使代數語言有了直觀意義，可以幫助人們更好地理解數，并在形的啟發下提出新的結論。“只要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。（拉格朗日語）”（3）幾何問題代數化提供了一種解決問題的普適方法。希臘幾何中的許多問題都是個別解決的，而引入解析幾何后就可以用解析方法作一般性的處理。例如，三等分任意角、化圓為方、倍立方體三大尺規作圖難題，用代數就可以漂亮迅速地決定它們能還是不能，而離開代數，決定幾乎是不可能的。而有些幾何曲線，例如旋輪線、對數曲線、對數螺線等，如果不用解析幾何的方法，我們將根本無法知道怎么去研究它們的性質。解析幾何有一套發現數學定理的統一有效且好用的方法，吳文俊院士高度重視解析幾何思想，他創立的“數學機械化方法”獲第一屆國家最高科學技術獎，他開創了用計算機證明所有已知平面幾何定理的先河。1995年他提出：“中學應該趕快離開歐幾里得，歐氏幾何讓位于解析幾何。”

再次，從創造心理學的角度看，解析幾何產生和發展的歷史展示了數學家創造活動的心路歷程：（1）堅定的信念，執著的追求。笛卡兒曾多次表明他的數學信念，他認為：數學是宇宙的語言；數學方法是獲得一切科學知識和解決一切科學問題的普遍工具；代數是一門具有普通意義的潛在的方

法的科學；取代數與幾何之精華，建立普遍的、統一的“通用數學”……這種信念直接影響了笛卡兒數學思想的形成和發展。（2）觀念的選擇。笛卡兒認識到代數是具有普遍意義的潛在的方法科學，把數學看作方法的科學，并把數學方法當作演繹推理的工具，將代數推理方法和邏輯相結合，使之成為普遍的科學工具。他認為“應該存在著某種普遍科學，可以解釋關于秩序和度量所能夠知道的一切，它同任何具體題材沒有牽涉，可以叫做普遍數學。因為它本身就包含著其他科學之所以也被稱為數學的組成部分的一切。” 這樣一種普遍的科學方法與數學密切相關卻又不是數學，它在方法論上要比作為一種知識的數學更為基本，解析幾何具有濃厚的方法論色彩。（3）對美的追求。數學的發現和發明，既是審美的過程也是塑造美的過程。解析幾何思想，體現了數學的簡約美與和諧美，而蘊涵其中的是數學家在數學立意、數學思維和數學方法上獨特的審美追求。

4 新課程下平面解析幾何的教學實踐

解析幾何具有廣泛而深刻的文化內涵，但在高中解析幾何教材中，卻很難看到其思想形成和發展的歷史蹤跡，因此在解析幾何教學中應滲透解析幾何的思想。

首先，在課程教學的啟動環節，以解析幾何思想的文化內涵為素材驅動解析幾何教學，可以讓學生對解析幾何產生的文化和歷史背景、基本思想和學科特點以及數學家創立解析幾何時的數學信念、價值判斷、審美追求、數學思維等有一個整體的認識，為學生營造一個渴望認知、理解和掌握知識的富有吸引力的學習情境，從而激發學生學習的原動力，為解析幾何思想的全面展開奠定基礎。

其次，在數學教學過程中還應該重視微觀的一面，即從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊。教材中有許多體現解析幾何思想的好素材，例如：直線是解析幾何的基礎部分，通過用代數方法討論兩條直線的位置關系初步體會數形結合思想，為進一步研究圓錐曲線及后續知識提供了范式。在教學點到直線的距離公式時，可以啟發學生先從幾何角度觀察思考，尋找解決思路，再利用坐標法解決，避免繁瑣運算。為了研究各種曲線的性質，通過求符合條件的曲線的軌跡方程，讓學生體會曲線和方程的關系，實現求曲線方程的完備性和純粹性。在圓錐曲線的教學中，橢圓具有典型性，對雙曲線和拋物線的研究可以通過類比橢圓的研究來完成。而極坐標系的引入，使三種圓錐曲線得以統一，從而揭示了三種圓錐曲線的關系，深化對圓錐曲線的本質認識等等。

只有當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時，數學才會更加平易近人，數學教學才能通過文化層面讓學生進一步理解數學、熱愛數學。

（作者單位：無錫城市職業技術學院）