高中數(shù)學教學中如何有效應用數(shù)形結合初探

李新繼

一、數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的地位

從高考命題中來看，近幾年來，高考命題朝著多樣性和多變性的方向發(fā)展，增加了一些轉(zhuǎn)化的題型，重在考查學生對知識理解的準確性、深刻性、重在考查知識的綜合應用，著眼于對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極向?qū)?，決定了數(shù)學教學中必須以數(shù)形結合思想指導知識、方法的應用，整體把握各部分的知識的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)形結合在每年的高考中應用比較多，如能從中發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)量之間存在的關系，并準確畫圖，那么就能很快得出正確答案。

從知識形成的角度來看，利用數(shù)形結合，能夠化抽象為具體，有利于數(shù)學概念的理解和記憶。主要體現(xiàn)為：

（1）利用數(shù)形結合，容易揭示數(shù)學概念的來龍去脈。

（2）利用數(shù)形結合有利于學生對知識本質(zhì)的理解。

（3）利用數(shù)形結合，為概念賦予圖形信息，幫助學生利用圖形信息來理解記憶概念以及相關性質(zhì)進行應用。如：在對函數(shù)的性質(zhì)進行理解和記憶時，就在圖象的基礎上進行的，由圖象的位置、最高點、最低點、對稱性、上升、下降等，就能說出相關的定義域、值域、最大植、最小值、極值點、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。

二、常用的幾種數(shù)形結合方式

通過總結，常用的數(shù)形結合方式主要有一下幾種：

（1）利用函數(shù)的圖象數(shù)形結合

對于求不等式的解、關于三角函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的值域、最值問題等類型的題多采用此種數(shù)形結合方式。

（2）利用方程的圖形數(shù)形結合

常見于求方程解的個數(shù)，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等題型中。

（3）利用幾何意義轉(zhuǎn)化構造

以幾何元素為背景建立起來的概念，如：復數(shù)、三角函數(shù)等，通常根據(jù)其幾何意義轉(zhuǎn)化構造。關鍵要善于用幾何的眼光來觀察分析代數(shù)式。

（4）利用集合的關系數(shù)形結合

對于一些集合的題目，通?？山柚氖蠄D來求解。

（5）利用向量的知識數(shù)形結合

對于一些空間幾何的題，通常建立直角坐標系來幫助求解。

因此，數(shù)形結合的方式有多種，可能對于有些題目可以用不同的方式來解，在教學過程中應怎樣有效應用數(shù)形結合呢？

三、在教學過程中什么時候該采用數(shù)形結合

數(shù)形結合方法雖然是一種非常重要的數(shù)學思想方法，但在教學過程中應當在適合的時候采用。因此，教師在講授數(shù)學知識的同時滲透數(shù)形結合，要把數(shù)形結合思想的教學精心設計在教學的適當環(huán)節(jié)中，如：在知識的發(fā)生、發(fā)展過程中、立體教學過程中，解題訓練過程中，復習舊知的過程中等。

1.在概念的教學過程中應用數(shù)形結合

對于一些有幾何背景的復雜概念，如果能充分利用數(shù)形結合，有助于概念的理解的記憶。

2.在解題教學中充分應用數(shù)形結合

（1）函數(shù)方面應用數(shù)形結合

在解題教學中，很多類型的題都可以用數(shù)形結合來解，而且速度快，效率比較高。在一般函數(shù)中，求函數(shù)的值域、最值問題中應用比較多，在這類題型中，多是給出了一些函數(shù)解析式或者自變量滿足的某個方程等，求某一函數(shù)的最值。其中函數(shù)和方程大多都有明顯的幾何意義，作出它的圖象，從圖象中觀察求出最值（其中最常見的是將最值問題轉(zhuǎn)化為某一直線的斜率）。在三角函數(shù)中應用主要是從圖象中來分析函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性.

（2）在不等式方面應用數(shù)形結合

在求一元二次不等式的解中，一般是由相應的一元二次方程的根確定函數(shù)與x軸的交點，通過觀察圖象得出其解。如果不應用這種方法，就要用取點法判斷不等式的解集是取兩邊還是中間。

對于滿足某一不等式的自變量的取值范圍（如： ）這種形式的，通常把不等號左右兩邊的設為兩個函數(shù)，根據(jù)圖象中兩個函數(shù)的交點來確定自變量的取值范圍。

（3）在集合方面應用數(shù)形結合

對于一些題型，其中有幾個事件同時包含一個事物，如：“35個同學同時有A、B兩種書”等的問題，涉及到集合的關系，通?？梢杂梦氖蠄D來表示集合之間的關系。

小結：實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：

（1）實現(xiàn)實數(shù)與數(shù)軸的點的對應關系；

（2）實現(xiàn)與圖象的對應關系，常見于求函數(shù)的值域、最值問題中，其中三角函數(shù)是常見的一種；

（3）曲線與方程的對應關系，常用于求方程的解的個數(shù)，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等。

（4）以幾何元素為背景建立起來的概念，如：復數(shù)、三角函數(shù)等，通常根據(jù)其幾何意義轉(zhuǎn)化構造。關鍵要善于用幾何的眼光來觀察分析代數(shù)式。如：將 與距離轉(zhuǎn)化，將 或 與面積轉(zhuǎn)化，將 與兩點間的距離公式和勾股定理溝通等等。如此看到所給的等式或代數(shù)式的結構，要能想象它是否具有明顯的幾何意義。

但是，數(shù)形結合的方法不是萬能的，它也有一定的局限性：（1）在數(shù)形結合的使用過程中，圖形描繪的顯然不能達到百分百的精確，特別是較為復雜的圖形，給人造成一定的錯覺，容易將我們局限在幾何的圈子里，這樣在解題時就很容易出錯；（2）數(shù)式問題不一定存在簡潔的圖形背景，數(shù)形轉(zhuǎn)化的技巧性較高，這對于在講授課程中是一個難點；（3）并非每道題都可應用數(shù)形結合來求解，對于一些簡單的題目如果采用數(shù)形結合的方法來解，可能會因為圖形畫得不精確等而出錯。

因此，在面對具體的題目時，是用代數(shù)法還是用數(shù)形結合法，要進行具體分析，靈活運用，但一定要把數(shù)形結合法作為一種基本思路。主要考慮以下幾個問題：（1）該題可以用數(shù)形結合的方法來解嗎？（2）如果不用數(shù)形結合能不能簡單的解決？（3）那種方法更簡單？通過比較后選擇比較簡單的一種方法。

四、回顧與展望

這篇文章主要從概念教學、解題教學以及數(shù)形結合的五種方式來闡述高中數(shù)學教學中如何有效應用數(shù)形結合。通過這篇文章，在今后的數(shù)學教學中大體知道哪種類型的題適合用數(shù)形結合方法以及采用怎樣的數(shù)形結合方式；當一道題可以用幾種方法來解時，能快速的找到比較簡單的方法，使得在今后的高中數(shù)學教學中合理、有效的應用數(shù)形結合。

由于種種原因，這篇論文寫的不夠深入，細致，還存在很多不足的地方，比如：對題型的歸類不是很嚴謹；在數(shù)形結合的應用過程中，如何避免因它的局限性所帶來的誤導；在教學過程中如何將數(shù)形結合與教學內(nèi)容銜接起來等問題。