高中數學教學中如何有效應用數形結合初探

李新繼

一、數形結合思想在高中數學教學中的地位

從高考命題中來看，近幾年來，高考命題朝著多樣性和多變性的方向發展，增加了一些轉化的題型，重在考查學生對知識理解的準確性、深刻性、重在考查知識的綜合應用，著眼于對數學思想方法、數學能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極向導，決定了數學教學中必須以數形結合思想指導知識、方法的應用，整體把握各部分的知識的內在聯系。數形結合在每年的高考中應用比較多，如能從中發現圖形和數量之間存在的關系，并準確畫圖，那么就能很快得出正確答案。

從知識形成的角度來看，利用數形結合，能夠化抽象為具體，有利于數學概念的理解和記憶。主要體現為：

（1）利用數形結合，容易揭示數學概念的來龍去脈。

（2）利用數形結合有利于學生對知識本質的理解。

（3）利用數形結合，為概念賦予圖形信息，幫助學生利用圖形信息來理解記憶概念以及相關性質進行應用。如：在對函數的性質進行理解和記憶時，就在圖象的基礎上進行的，由圖象的位置、最高點、最低點、對稱性、上升、下降等，就能說出相關的定義域、值域、最大植、最小值、極值點、單調性、奇偶性等性質。

二、常用的幾種數形結合方式

通過總結，常用的數形結合方式主要有一下幾種：

（1）利用函數的圖象數形結合

對于求不等式的解、關于三角函數的性質、函數的值域、最值問題等類型的題多采用此種數形結合方式。

（2）利用方程的圖形數形結合

常見于求方程解的個數，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等題型中。

（3）利用幾何意義轉化構造

以幾何元素為背景建立起來的概念，如：復數、三角函數等，通常根據其幾何意義轉化構造。關鍵要善于用幾何的眼光來觀察分析代數式。

（4）利用集合的關系數形結合

對于一些集合的題目，通常可借助文氏圖來求解。

（5）利用向量的知識數形結合

對于一些空間幾何的題，通常建立直角坐標系來幫助求解。

因此，數形結合的方式有多種，可能對于有些題目可以用不同的方式來解，在教學過程中應怎樣有效應用數形結合呢？

三、在教學過程中什么時候該采用數形結合

數形結合方法雖然是一種非常重要的數學思想方法，但在教學過程中應當在適合的時候采用。因此，教師在講授數學知識的同時滲透數形結合，要把數形結合思想的教學精心設計在教學的適當環節中，如：在知識的發生、發展過程中、立體教學過程中，解題訓練過程中，復習舊知的過程中等。

1.在概念的教學過程中應用數形結合

對于一些有幾何背景的復雜概念，如果能充分利用數形結合，有助于概念的理解的記憶。

2.在解題教學中充分應用數形結合

（1）函數方面應用數形結合

在解題教學中，很多類型的題都可以用數形結合來解，而且速度快，效率比較高。在一般函數中，求函數的值域、最值問題中應用比較多，在這類題型中，多是給出了一些函數解析式或者自變量滿足的某個方程等，求某一函數的最值。其中函數和方程大多都有明顯的幾何意義，作出它的圖象，從圖象中觀察求出最值（其中最常見的是將最值問題轉化為某一直線的斜率）。在三角函數中應用主要是從圖象中來分析函數在某一區間的單調性.

（2）在不等式方面應用數形結合

在求一元二次不等式的解中，一般是由相應的一元二次方程的根確定函數與x軸的交點，通過觀察圖象得出其解。如果不應用這種方法，就要用取點法判斷不等式的解集是取兩邊還是中間。

對于滿足某一不等式的自變量的取值范圍（如： ）這種形式的，通常把不等號左右兩邊的設為兩個函數，根據圖象中兩個函數的交點來確定自變量的取值范圍。

（3）在集合方面應用數形結合

對于一些題型，其中有幾個事件同時包含一個事物，如：“35個同學同時有A、B兩種書”等的問題，涉及到集合的關系，通常可以用文氏圖來表示集合之間的關系。

小結：實現數形結合，常與以下內容有關：

（1）實現實數與數軸的點的對應關系；

（2）實現與圖象的對應關系，常見于求函數的值域、最值問題中，其中三角函數是常見的一種；

（3）曲線與方程的對應關系，常用于求方程的解的個數，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等。

（4）以幾何元素為背景建立起來的概念，如：復數、三角函數等，通常根據其幾何意義轉化構造。關鍵要善于用幾何的眼光來觀察分析代數式。如：將 與距離轉化，將 或 與面積轉化，將 與兩點間的距離公式和勾股定理溝通等等。如此看到所給的等式或代數式的結構，要能想象它是否具有明顯的幾何意義。

但是，數形結合的方法不是萬能的，它也有一定的局限性：（1）在數形結合的使用過程中，圖形描繪的顯然不能達到百分百的精確，特別是較為復雜的圖形，給人造成一定的錯覺，容易將我們局限在幾何的圈子里，這樣在解題時就很容易出錯；（2）數式問題不一定存在簡潔的圖形背景，數形轉化的技巧性較高，這對于在講授課程中是一個難點；（3）并非每道題都可應用數形結合來求解，對于一些簡單的題目如果采用數形結合的方法來解，可能會因為圖形畫得不精確等而出錯。

因此，在面對具體的題目時，是用代數法還是用數形結合法，要進行具體分析，靈活運用，但一定要把數形結合法作為一種基本思路。主要考慮以下幾個問題：（1）該題可以用數形結合的方法來解嗎？（2）如果不用數形結合能不能簡單的解決？（3）那種方法更簡單？通過比較后選擇比較簡單的一種方法。

四、回顧與展望

這篇文章主要從概念教學、解題教學以及數形結合的五種方式來闡述高中數學教學中如何有效應用數形結合。通過這篇文章，在今后的數學教學中大體知道哪種類型的題適合用數形結合方法以及采用怎樣的數形結合方式；當一道題可以用幾種方法來解時，能快速的找到比較簡單的方法，使得在今后的高中數學教學中合理、有效的應用數形結合。

由于種種原因，這篇論文寫的不夠深入，細致，還存在很多不足的地方，比如：對題型的歸類不是很嚴謹；在數形結合的應用過程中，如何避免因它的局限性所帶來的誤導；在教學過程中如何將數形結合與教學內容銜接起來等問題。