關(guān)于歐拉不等式的一類加強(qiáng)
2025-09-23 00:00:00李云杰何燈
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2025年9期
題目（《數(shù)學(xué)通報(bào)》2024年6月2788號(hào)問題）在 ΔABC 中， R 和 r 分別是外接圓和內(nèi)接圓的半徑，求證 
，其中 Σ 表示循環(huán)和.
顯然，式（1）借助三角不等式 Σ tan =√實(shí)現(xiàn)歐拉不等式（ R?2r ）的一類加強(qiáng).無獨(dú)有偶，
文[1］中同樣借助不等式 Σ tan 
，建立了歐拉不等式的另一類加強(qiáng)：
一個(gè)自然的想法是，能否結(jié)合式（1）（2），構(gòu)建歐拉不等式新的加強(qiáng)形式？通過探究，筆者得到如下結(jié)論.
定理 設(shè) R，r 分別為 ΔABC 的外接圓和內(nèi)接圓半徑，則有
（3）定理的證明需要如下兩個(gè)引理.引理1[1] 設(shè) s，R，r 分別為 ΔABC 的半周長、外接圓和內(nèi)接圓半徑，則 Σ tan 
引理 2[2] （204 設(shè) s，R，r 分別為 ΔABC 的半周長、外接圓和內(nèi)接圓半徑，則s2≥2r（4R+r）（2R-r）.定理證明 由引理1，式（3）等價(jià)于
4（4R+r-√3），等價(jià)于3（5R+8
（4）令 
10（4R+r）2r ，結(jié)合引理2得
由于 
（20 
（由歐拉不等式易證 50R2-57Rr- （20 8r2?0 ，所以 f′（s）?0 ，結(jié)合 s? 
，可得函數(shù) f（s） 關(guān)于 s 在
上單調(diào)遞增，從而
.故 f（s）?0 等價(jià)于 5R2+ 
6√2Rr（4R+r）（2R-r），等價(jià)于R-2[25（ 
號(hào)?0 ，等價(jià)于證明 ?t∈[2，+∞），25t3-2（313- 
恒成立.
由于 
≈4.27gt;4.25 ，故
綜上，得證 f（s）?0 ，即式（4）成立.
評(píng)注 根據(jù)不等式 
，顯然式（3）強(qiáng)于式（1）.令 
則（∑tan）2+
由于 40M+ 96- 
，得
，故式（3）亦強(qiáng)于式（2）.在三角形中還有熟知的不等式in
，利用這五個(gè)不等式，同樣可構(gòu)造與式（3）相類似的不等式，此留給有興趣的讀者繼續(xù)探究.
參考文獻(xiàn)
[1]王圣.歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)及其類似[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（2）：62-63.
[2]郭要紅，劉其右.一個(gè)Finsler—Hadwiger型不等式的加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（1）：60-61.
