基于教學評一致性的函數主線教學研究

函數是高中數學的一條重要的主線，其內容和思想貫穿于整個高中數學課程，是高中數學知識體系的核心內容.三角函數是一類最典型的周期函數，是解決圓周運動的重要函數模型.三角函數的概念是本單元最重要的內容之一，三角函數概念的準確理解和應用是學好三角函數的基礎.教學評一體化是將教學目標、教學過程、學習活動以及評價反饋緊密結合的一種教學理念.它要求教師在教學設計階段明確清晰的教學目標，圍繞目標展開教學活動，引導學生積極參與學習過程，同時通過多元化的評價方式及時監測學生的學習進展與自標達成情況，并根據評價結果動態調整教學策略，實現以評促教、以評促學的良性循環.本文以三角函數的概念為例，構建了基于教學評一致性的教學設計，有效發展了學生的數學核心素養

1 教學分析

1. 1 教學內容分析

在學習三角函數的概念之前，學生已經學習了任意角與弧度制，知道了角與實數間存在一一對應的關系.在初中所學的銳角三角函數的基礎上，借助單位圓定義任意角的三角函數.三角函數的概念涉具有較強的抽象性.學生需要從幾何直觀和代數運算兩個維度去理解三角函數是如何描述角的變化與邊的比值之間的關系，這對學生的直觀想象、邏輯推理以及數學抽象素養都提出了較高要求.

1.2 教學目標分析

① 能從現實情境中抽象出數學問題，并能用數學方法解決問題.② 能借助單位圓定義三角函數，并能指出三角函數的定義域和值域.③ 能用三角函數的定義求解特殊角的三角函數值.

1. 3 重難點分析

教學重點：借助單位圓定義任意角的三角函數，并能運用三角函數的定義求一些特殊角的三角函數值.

教學難點：借助單位圓抽象出角與終邊上的點的坐標（或坐標比值）間的關系，定義三角函數

2 教學過程

2. 1 情境引入，引發思考

問題1 摩天輪是生活中常見的一類游玩工具，如圖1，摩天輪上的點 P 從點A出發作逆時針的勻速圓周運動，如何確定點 P 的位置？

設計意圖 從現實情境出發，提出數學問題，激發學生學習數學的興趣.要確定點 P 的位置，只需要確定 oP 的位置.聯系任意角的概念，容易想到以 oA 為始邊， OP 為終邊，確定旋轉角 α ，進而得到旋轉角 α 與 oP 間存在變化關系.在整個思考過程中，有利于提升學生的數學抽象和數學建模素養，感悟運動變化的過程.

圖1

問題2由問題1知，旋轉角 α 與 P 的位置間存在變化關系？它們間能構成函數關系嗎？

設計意圖在弧度制下，旋轉角可用實數表示，但點 P 的位置不是一個實數，不符合函數是兩個非空數集間的對應關系.因此，它們間不能構成函數.問題2的設置為引入平面直角坐標系給出了鋪墊，使教學過程過渡自然.

追問 如何將點 P 的位置用實數刻畫？

設計意圖引導學生的平面直角坐標系中研究問題.在平面直角坐標系中，點 P 的位置與一個有序實數對 （x，y） 一一對應.從而形成以下的運動變化過程.

有序實數對旋轉角α的變化 OP位置的變化 P位置的變化 （x，y的變化

在這個變化過程中，已然能夠清晰地看到函數的身影.通過問題1和問題2的解決，能夠完成教學目標 ① ，讓學生從現實情境中抽象出數學問題，并能夠用數學的方法解決問題，有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力.

2.2 概念構建，合作探究

問題3 你能給幾個旋轉角 α ，并求出點 P 的坐標嗎？

設計意圖引導學生具體操作，從中感知旋轉角 α 與點 P 的坐標間的變化關系，為接下來構建函數做好鋪墊.另一方面，加強了從特殊到一般的數學思想的滲透，提升學生科學的探究能力.

問題3 點 P 的橫坐標是旋轉角 α 的函數嗎？

設計意圖引導學生小組合作，充分討論.根據函數的定義，點 P 的橫坐標是旋轉角 α 的函數.其中旋轉角 α 為自變量，點 P 的橫坐標為函數值.在學生開展討論的過程中，教師巡查整個課堂，對有疑問的小組及時予以點撥

追問 你能用一個函數符號表示這個函數嗎？

設計意圖通過追問，學生明白了需要用一個函數符號對旋轉角 α 產生作用，使其與點 P 的橫坐標進行對應.學生可能會得到不同的答案，教師應當及時地鼓勵和糾正.此時，教師可以適當地介紹一些關于三角函數的歷史，并給出這個函數的名稱及符號表示.

問題4點 P 的橫坐標是旋轉角 α 的函數嗎？點P 的縱坐標與橫坐標之比是旋轉角 α 的函數嗎？

設計意圖在問題3的引導下，學生可以快速地給出問題4的答案.至此，三角函數概念的構建已經完成.整個過程以學生為主，采用互動式、探究式教學模式，使得教師能夠實時得到學生的反饋，及時調整教學節奏，更好地體現教學評一致性的理念.

2.3 歸納總結，明晰概念

經過學生的充分討論后，得到了三個函數：正弦函數 y=sinα ;余弦函數 x=cosα ;正切函數 tanα.這三個函數統稱為三角函數.它們都是以旋轉角 α 為自變量，以旋轉角 α 的終邊與單位圓交點的坐標（或坐標比）為函數值的函數.為了與其他函數的符號表示一致，我們將旋轉角 α 統一用字母 x 表示，函數值統一用 y （或 f（x） ）.也就是說，正弦函數表示為 ，余弦函數表示為 y= cosx ，正切函數表示為 y= tanx.

問題5 指出這三種函數的定義域？

設計意圖引導學生借助單位圓，直觀給出這三個函數的定義域，為后續研究三角的圖象與性質打下基礎，同時強化學生對單位圓定義三角函數的理解.

2.4 對比分析，深化理解

問題6在單位圓中定義的三角函數與初中所學的銳角三角函數的定義有何異同？

設計意圖引導學生回顧舊知，明確高中的三角函數定義更具有一般性.事實上，銳角三角函數的定義并未研究其中的變化關系，是一種基于圖形的靜態定義，而高中的三角函數定義是從運動變化的觀點出發，利用函數的定義精確地給出的.

2.5 實例應用，遷移拓展

例1 刀自 的正弦，余弦和正切值

例2設 α 是一個任意角，它的終邊上任意一點 P （不與原點 o 重合）的坐標為 （⊥）（?_x，y） ，點 P 與原點的距離為 r. 求證：

設計意圖例1體現基礎性，直接在單位圓中利用三角函數的定義即可求解.在解答該問題后，需要引導學生歸納利用三角函數的定義求三角函數值的一般步驟.培養學生對知識的遷移運用及解決實際問題的能力；例2實際上給出了三角函數的一般定義.通過作圖實踐，讓學生明白只要任給旋轉角 α 終邊上的一點 P 的坐標，則終邊是唯一確定的.在證明結論的過程中，引導學生開展小組討論，共同形成結論，以加強學生對三角函數定義的深刻理解.

2.6 課堂小結，反饋評價

組織學生回顧本節課所學的三角函數概念、重點知識以及解題方法等，進行課堂小結.教師根據學生的小結情況以及課堂整體表現，綜合運用形成性評價、過程性評價、總結性評價等多種方式，對學生的學習成果進行全面評價，同時，引導學生進行自我評價和互評，讓學生反思自己在學習過程中的收獲與問題，明確下一步的學習方向.

3 教學建議

3.1科學設計教學情境，激發學生的學習興趣.

教學情境有現實情境，數學情境和科學情境，在數學教學中應充分運用好教學情境，以激發學生學習數學的興趣.在對函數主線相關內容進行教學時，應當將其看成一個整體，其教學過程應當具有一以貫之.首先，科學地設計有關情境，啟發學生發現問題并提出問題，再運用數學方法分析問題和解決問題.尤其是對基本初等函數的教學，應當采用一致性的理念，重點掌握得到一類函數的過程，學會研究函數的一般方法

3.2開展互動式、探究式教學，促進課堂評價 落地.

教師在課堂中對學生的評價以及學生之間的互相評價，主要是由學生的表現反饋出來的.例如，學生對一個數學概念是否理解正確，需要由學生自已回答.學生是否能夠利用概念、公式、定理解決有關問題，需要由學生完成結果反饋出來.因此，只有開展互動式、探究式的教學，才能在教學過程中給出學生真實的評價.在師生之間，生生之間的相互交流中，教師的教，學生的學才能達到相互融合，也才能更好地踐行教學評一致性的理念.