高考備考微專題：“數列”中的新定義問題

數學學科核心素養是在“三新\"（新教材、新課程與新高考）背景下提出的一個重要理念．核心素養的培育不僅要融人平時的教學，通過構建“教一學一評”過程體系來實現，同時也與課堂解題教學研究密切相關．因此，依托于教學的實際情況，科學合理設計與之相應的微專題解題教學是一項十分重要的工作，這為融人數學核心素養，滲透探究意識，促進學生的全方位發展打下堅實基礎。

本文以“數列”中的新定義問題為例，以培育學生核心素養為出發點，設計了適合學生發展“四基”與“四能”的微專題解題教學.

1從問題場景中加以數學抽象

創新定義及情景等應用型問題是從場景切入，合理抽象出對應的數列概念、公式與性質等，借助數列的相關知識加以分析，巧妙破解問題.

例1（2025屆湖北省武漢市高中畢業生二月調研考試數學試卷·11、多選題）已知 n∈N* ，記丨A丨為集合 A 中元素的個數， min（A） 為集合 A 中的最小元素.若非空數集 A?{1，2，…，n} ，且滿足IA1?min（A） ，則稱集合 A 為“ n 階完美集”.記 a_n 為全部 n 階完美集的個數，下列說法中正確的是.

A. a₄=7 B.將 n 階完美集 A 的元素全部加1，得到的新集合，是 n+1 階完美集C.若 A 為 階完美集， |A∣gt;1 且 n+2 ∈A ，滿足條件的集合 A 的個數為 a_n+1-n D.若 A 為 階完美集，I A|gt;1 且 n+2 ot∈A ，滿足條件的集合 A 的個數為

析解根據條件可知“ n 階完美集” A 中元素個數IAI限制 min（A） 的值，根據其定義可知IA丨的范圍是大于等于1，小于等于 1～n 的中位數

例如對于“4階完美集”丨A丨只能是1或2，并且集合 A 可以是 {1}，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4} {3，4}，所以 a₄=7 ，故選項 A 正確;

若將“ n 階完美集”A中元素全部加1，則元素個數不變，但 min（A） 加1變大，均不違背“ n+1 階完美集”的定義，所以，得到的新集合是一個“ n+1 階完美集”，故選項 B 正確；

對于滿足“ n+2 階完美集”的所有 A，n+2 屬于所有 A 或不屬于所有 A ，均可視為同一情形，即退化為“ n+1 階完美集”的情況，總個數為 a_n+1 .又由于∣A∣gt;1 ，則滿足條件的集合 A 要排除掉“ n+1 階完美集”中只含有1個元素的情形（排除 n+1 個單元素集合），因此，滿足選項 δ_C，D 的情況的集合 A 的個數均為 a_n+1-（n+1）=a_n+1-n-1 ，故選項 c 錯誤， D 正確;

點評本題結合創新定義，巧妙通過集合與數列的基礎知識加以數學抽象，通過分析創新定義，為問題的求解指明方向.

2 從遞推關系中加以數學運算

巧妙建立遞推關系式是數列問題中最為常見的一種命題方式.從遞推關系式的結構特征與性質規律人手，通過恒等變形與轉化，利用數列的通項公式、求和公式以及與之相關的運算技巧等來實現問題的求解.

例2（2025屆湖北省武漢市高中畢業生二月調研考試數學試卷·8）設數列 {a_n} 的前 n 項和為S_n ，已知 a₁= 2，na_n=S_n+S_n-1（n?2，n∈N*） ，數列 {2ⁿS_n} 的前 n 項和為 T_n ，則下列不等式正確的是

析解由 na_n=S_n+S_n-1（n?2，n∈N*） 得n（S_n-S_n-1）=S_n+S_n-1 ，即 （n-1）S_n=（n+ （204號1）S_n-1 ，從而可得 （20 因此 是一個常數數列，則有 ，即 S_n=n（n+1） .則 2ⁿS_n=n（n+1）2ⁿ =[（n+1）²-3（n+1）+4]2ⁿ⁺¹-（n²-3n+4）2ⁿ =（n²-n+2）2ⁿ⁺¹-（n²-3n+4）2ⁿ 所以 T_n=（2 ×2²-2×2¹）+（4×2³-2×2²）+（8×2⁴-4 × 1（204號 （n²-n+2）2ⁿ⁺¹-2×2¹=（n²-n+2）2ⁿ⁺¹-4 ：

由 T₂₀-2³⁰=382×2²¹-4-2³⁰=-130×2²¹ -4lt;0 ，可知 T₂₀lt;2³⁰lt;2³⁵ ，故選項 A 正確， B 錯誤;

由 T₃₀-2⁴⁰= 872×2³¹-4-2⁴⁰= 360×2³¹- 4gt;0 ，可知 T₃₀gt;2⁴⁰ ，故選項 c 錯誤;

由 T₃₀-2⁴¹=872×2³¹-4-2⁴¹=-152×2³¹ -4lt;0 ，可知 T₃₀lt;2⁴¹lt;2⁴⁵ ，故選項 D 錯誤;

點評在確定數列 {a_n} 的前 n 項和 S_n 的解析式后，利用數列 {2ⁿS_n} 的通項公式的合理裂項處理，是解決問題的一個關鍵所在．有時在裂項處理時，可借助待定系數法來分析與計算.

3 從知識交匯中加以邏輯推理

數列與其他知識的交匯問題的處理需要結合數學運算等加以分析與應用，這也是解決此類問題常用的思維方式.

例3（2025屆內蒙古教育聯盟高三第一次聯考數學試卷·11、多選題）定義： {a_n} 滿足當 n 為奇數時， a_n+a_n+1=k ；當 n 為偶數時， a_n+a_n+1=-k ，k∈Z ，則稱 {a_n} 為“回旋數列”.若 {b_n} 為\"回旋數列”， b₁=1，k=3 ，設 {b_n} 前 n 項和為 S_n ，從 b₁，b₂ …，b_2n 中任意抽取兩個數，兩個數之和大于0的概率為 P_2n，P_2n 的前 n 項積為 T_n ，則下列說法正確的是.

A. b₂₀-b₁₉=119

（20 B.4S_2n+1=-3S_2n+S_2n-1

且 P_2n 恒不小于 D.Tn

析解由于數列 {b_n} 為“回旋數列”， k=3 ，則知當 n 為奇數時， b_n+b_n+1=3 ；當 n 為偶數時， b_n+ b_n+1=-3. 所以，當 n 為奇數時， b_n+b_n+1=3，b_n+1+ b_n+2=-3 ，可得 b_n+2-b_n=-6 ，所以 b₁，b₃，b₅，… b_2n-1 ，…為等差數列，公差 d₁=-6 所以當 n 為奇數時 b_n= 1-3（n-1）=-3n+4 ！

當 n 為偶數時， b_n+b_n+1=-3，b_n+1+b_n+2=3 則 b_n+2-b_n=6 ，所以 b₂，b₄，b₆，…，b_2n，… ·為等差數列，公差 d₂= 6 又由于 b₁=1 ，結合 b₁+b₂=3 可得 b₂=2 ，所以當 n 為偶數時， b_n=2+3（n-2）= 3n-4

綜上，有 b₂₀=56，b₁₉=-53 ，所以 b₂₀-b₁₉= 109，故選項 A 錯誤;

由 S_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n= \"S_2n-1=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-2+b_2n-1=b₁+ （ b₂+b₃）+（b₄+b₅）+…+（b_2n-2+b_2n-1）=1- 3（n-1）=-3n+4;S_2n+1=S_2n-1+b_2n+b_2n+1=- 3n+4-3=-3n+1 ，則 4S_2n+1=-12n+4，-3S_2n （204號 +S_2n-1=-9n+（-3n+4）=-12n+4 ，所以 4S_2n+1 =-3S_2n+S_2n-1 成立，故選項 B 正確；

從 b₁，b₂，…，b_2n 中任意抽取兩個數，有 C_2n² 種取法，其中兩個數之和大于0的取法包含取一個奇項項與它之后的所有偶數項或取一個偶數項與它之前的所有奇數項（注意重復性），或取任意兩個偶數項，則有 （204號0 ，所以 可得 （204號 且 故選項 c 正確;

最后， ，故選

項 D 正確.

4從圖表信息中加以數據分析

依托數陣、圖形、表格等圖表方式確定相應的數列問題，可借助直觀或合理的數據分析，并結合數列的排列規律并解決問題

例4（2025屆浙江省名校協作體高考數學適應性試卷·11、多選題）觀察下面一組等式：

1³=1

2³=3+5

3³=7+9+11

記 a_（i，j） 表示第 i 個等式中等號右邊第 j 個數，如 a_（3，2）= 9，a_（4，3）= 17 ，則（ ）.

（204號 A.2025∈{a_（45，j）∣j∈N*}

（20

D

析解由數陣可得 a_（i，j） 表示第 i 行中有連續的 i 個奇數相加，且 i≥j ，故第 n 行等式中等號右邊第1個數為第 1+2+3+…+（n-1）+1= 個正奇數，該數為 （20號-1=n²-n+1 ;故選項 B 錯誤;

第 n 行等式中等號右邊最后1個數為第 1+2+ n（n+1）個正奇數，該數為2×n（n+1）-1 =n2 +n-1;則知（45，1） = 452 -45+1=1981，a_{（45，45）}=45²+45-1=2069 ，所以2025 在第45行內，即 2025∈{a_（45，j）∣j∈N*} ，故選項 A 正確;

當 10?n?100 時，第 n 行等式中等號右邊第2個數為 n²-n+1+2=n²-n+3 ，則有 所以 ，故選項 c 正確;

由于 i+j=8 ，且 i?j ，所以 i=4，j=4 或 i=

5，j=3 或 i=6，j=2 或 i=7，j=1 ，而 a_?（4，4）=4² +4-1=19，a_（5，3）=5²-5+1+4=25，a_（6，2）= 6²-6+1+2=33，a_（7，1）=7²-7+1=43 ，所以 ，故選項 D 正確.

點評本題借助數陣，通過 a_（i，j） 表示的數據信息，利用奇數的排列規律，綜合數列的基本知識、數列通項的放縮法處理以及求和等方面加以綜合.正確從圖表信息中尋覓出對應的規律與性質求解為問題的創造條件.

5從創新定義中加以數學建模

通過分析創新定義，合理構建與之對應的數列模型，借助數列知識轉化，利用數列知識來分析、解決問題.

例5（2025屆江蘇省蘇州市高考數學質量檢測試卷）如果數列 {a_n} 對任意的 n∈N*，a_n+2- （204號 a_n+1gt;a_n+1-a_n ，則稱 {a_n} 為“速增數列”.

（1）請寫出一個速增數列 {a_n} 的通項公式，并證明你寫出的數列符合要求；

（2）若數列 {a_n} 為“速增數列”，且任意項 a_n∈ Z，a₁= 1，a₂= 3，a_k= 2025 ，求正整數 k 的最大值.

析解 （1）取 a_n=2ⁿ 則 a_n+2-a_n+1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹ （204號 =2^{n+1 +1}，a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ 因為 2ⁿ⁺¹gt;2ⁿ，n∈ N* ，所以 a_n+2-a_n+1gt;a_n+1-a_n. 所以數列 {2ⁿ} 是“速增數列\".（此問答案不唯一，符合條件即可）

（2）當 k?2 時，由于 （2號+（a_k-1-a_k-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁. 因為數列 {a_n} 為“速增數列”，所以 a_k-a_k-1gt; a_k-1-a_k-2gt;…gt;a₃-a₂gt;a₂-a₁=2， 且 a_n∈ Z 從而 +（a₂-a₁）+a₁?k+（k-1）+…+3+2+1 ，即 ，其中 k∈Z

設函數 則知 f（k） 在 （1，+∞） 上單調遞增.而當 k=63 時， ;當 k = 64時， 故正整數 k 的最大值為63.

點評借助數列中滿足特殊結構特征來進行創新定義，合理數學建模，給問題的切入與應用創造條件.涉及此類數列與創新定義的交匯與應用問題，關鍵就是依托數列中的圖表關系、創新概念、創新運算、創新情境等不同的形式來創設，巧妙構建相應的關系式或不等式，進而結合數列的基礎知識與基本公式等來分析與應用.

基于“三新”背景，減輕學生的學業負擔，微專題教學是優化教學的一個重要手段。在結合學生的實際學情，結合核心素養的培育，以精簡性、整體性、代表性為標準合理選擇題型進行微專題教學是促進教學改革與優化學習的一個重要手段。