變形構造、動態分析

劉杭嶺

“含參函數方程有解取值范圍問題”歷來是高考的熱點與難點。此類問題通常將函數、方程、不等式、解析幾何等多個知識點融合在一起，需要綜合運用多種解題技巧與思想方法。因此，學生遇到此類問題時往往無從下手，望而生畏。那么此類問題的該如何解決呢？

一、直接構造函數，轉化為零點分布

例1 設關于x的方程和得實根分別為和，若，則的取值范圍是__________

解析：此題涉及到兩個含參數的方程根之間的關系，如果直接利用解方程的思想很難找到題目的突破口。如果把方程轉化為函數，把根的關系看出零點的分布或者圖像的交點，那么，問題的解決可能就會容易的多。一般情況下，方程根的問題往往轉化為函數零點的問題，因為根是對方程的 “靜態”表述，而零點是對函數的“動態”刻畫，借助運動變化的觀點往往更容易找到問題的突破口。

設，畫出兩個函數的圖像，如圖1所示。容易得到，要滿足，

則

二、分離參數構造新函數，轉化為圖像交點

通過構造新的函數，零點往往又可以轉化為圖像的交點。在構造新的函數時，往往遵循“一動一定，一直一曲”的原則，這樣有助于復雜的問題簡單化、直觀化。對于上述例題，我們還可以這樣解：

因為;

設，

于是函數與圖像的交點的橫坐標就是，。如圖2所示，要滿足，則直線只能在A、B之間移動，容易求得。

交點比零點更具靈活性，因為不同的函數視角，就會產生不同的交點。對于，上述例題，還有另外一種構造方法：

。

令，問題就轉化為拋物線與兩條直線的交點問題。由于a的不確定性，所以要對a進行分類討論，如圖3所示。

（1）當時，，

則;

（2）當時，顯然成立;

（3）當時，要滿足，則直線只能在與的交點A、B之間滑動。不妨設交點為，

則有，

解得，所以。綜上，。

三、注變化規律，動態分析臨界狀態

例2 若關于x的方程對任意均有實數解，則實數a的取值范圍是_______

解析：此題包含兩個參數，兩個參數相互制約，共同影響整個問題的結論。因此，在解題時要關注參數的變化規律，從運動的視角分析臨界狀態下圖像相交的特點，從而找到問題的突破口。

。

設，可得的圖像表示的是恒過定點，斜率在之間變化的直線束，其中點在直線上運動。

因此，原問題就轉化為與有交點，如圖4所示，考慮臨界狀態時的相交情況。

當的直線過點時，

將代入，得臨界點;

當的直線過點時，

將代入，得臨界點;

所以。

本題難點在于有兩個參數，如果能夠事先估計除參數的取值范圍，那么問題的解答過程就會簡潔的多。本題的解法還可以進一步優化：

因為方程對任意的都成立，則當與1時方程也成立，即有解，

得;有解，

得，

所以。

上面是當與1時得到的取值范圍，還需要驗證

當時，

對任意的，方程都有解。

令，直線恒過定點，

而點在線段上運動

如圖5所示，對任意的斜率，直線與半圓恒有交點。

綜上所述：。

“含參函數方程有解取值范圍問題”往往比較抽象，直接運用代數計算很容易陷入“山重水復疑無路”的困境，而采用數形結合就會迎來“柳暗花明又一村”的曙光。運用數形結合思想的關鍵是通過變形，構造函數，把方程根的問題轉化為函數零點或者圖像交點來處理，然后立足運動變化的視角動態分析圖像的變化規律，最終找到問題的突破口。