淺談行列式的計算及其應用

胡婷?王濤

摘要：本文一方面主要歸納了行列式計算的幾種方法；另一方面也介紹了行列式在代數中的應用。

關鍵詞：行列式；計算方法；應用

行列式起源于1757年馬拉普斯研究解含兩個和三個未知量的線性方程組而創建的，然而它的應用早已超出了代數的范圍，成為解析幾何、數學分析、微分方程、概率統計等數學分支的基本工具。本文主要對行列式的計算方法進行歸納總結，對行列式的應用做一定范圍的探討。行列式的理論和方法在諸多領域都起著十分重要的作用，它的的計算方法很多，在計算過程中，不同特征的行列式往往適用于不同的方法。本文主要研究其中最常用的也是最重要的方法，而每一種方法在計算過程中都有其獨特之處。因此很有研究價值。

一、行列式的計算

（一）定義法

定義法一般適用于求解出現較多零且比較簡單的行列式。如對角形行列式、三角行列式等。

例1 [1]：計算n階行列式

解：由行列式的定義知，此行列式的非零項只有兩項a11a22……am和a12a23……an-1，nan1，

故

（二）加邊法

加邊法適用于每一行（列）除了個別元素之外，其余元素均相同的行列式。

在原行列式中加一行一列，保持原行列式不變。其目的為了降價便于計算。

例8[2]：計算n階行列式

解：

二、行列式的簡單應用

行列式的理論和方法，在眾多的科學領域有著廣泛的應用，為解決很多數學問題提供了便捷。

（一）行列式在代數中的應用

1.證明多項式和定理

例17[3]：若n階多項式f（x）=a0+a1x+a2x2+……+anxn有n+1個不同的根，則f（x）=0。

證明：不妨設f（x）的不同根為xi=（i=1，2，……n+1），將其代入至f（x），得到的方程組如下：

從而獲得以ai為未知量的方程的系數行列式

由克姆萊法則可知，該方程組只有零解，即：a0=a1=a2……an=0，則f（x）=0

參考文獻：

[1] 錢吉林.高等代數題解精粹[M].北京：中央民族大學出版社，2002.10.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.6.

[3] 北京大學數學系.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.09.

作者簡介：

胡婷（1995年—），女，漢族，四川宜賓人，碩士，成都理工大學管理科學學院，研究方向：初至拾取。