芻議立體幾何中的函數方程思想的應用

譚斯能

【摘 要】函數方程思想作為貫穿高中數學的主線，其應用范圍非常廣，不僅能夠解決代數問題，也應用于立體幾何問題。本文結合實例對立體幾何中運用到的函數方程思想進行分析討論。

【關鍵詞】立體幾何；函數方程思想；應用

函數描述的是在客觀世界的某個過程中，量和量之間相互依賴、制約的關系。其思想的實質則是將研究對象與數學無關的特性拋開，運用變化與聯系的觀點來建立各變量之間的函數關系。方程思想與此思想方法有著很大的聯系，在運用方程思想解決問題的時候，是把所求的量設為未知數，并用它來表示其他的量，再依據題目中的等量關系列出方程，從而求得最終的答案。根據日常的解題經驗可以得出，函數方程的思想能夠運用于很多問題類型，比如立體幾何中的空間距離、空間角的范圍問題等。

1、計數與映射

函數，究其本質也是一種特殊的映射。在一些與空間計數相關的問題上，如果運用一般的思想和方法求解，則會由于混淆計數對象導致計數遺漏或者計數重復，有時甚至會出現無法求解的狀況。這是因為這些空間計數問題本身就含有某種映射，求解問題時需要設計特殊的映射來進行等價的交換，才能將問題化難為易，順利解決。

例1 空間中有n（n≥4）個點，其中任意四點不共面，現過兩點連一條直線，問空間中存在多少對的異面直線？

[分析] 因為題目中所給的計數對象很容易被混淆，導致計數困難。換個角度來思考，空間中不共面的四個點正好對應一個四面體，且四面體中每一個棱所在直線都有3對異面直線。因此，可以運用映射來建立空間中異面直線對數P和四面體個數f（n）之間的函數關系，為：P=3f（n）。而且從n個點當中選取4個點的組合數表示為 ，所以最終結果為P=3 ，即空間中存在3 對異面直線。

2、空間角和三角函數

由空間角的概念可以得出，任何空間角都建立在兩條相交直線形成的平面角的概念之上，因此在解決與空間角相關的立體幾何問題時，都應該回歸到平面圖形的層面上去。三角函數就是用來解決平面上“邊與角”之間的問題，所以在求空間角的范圍問題時，可以利用三角函數來建立含有空間角的關系式，并運用其性質去求得問題的答案。

例2 有正三棱錐V-ABC，底面的邊長為x，其側棱和底面形成的角是60°，P是側棱VC上的一個動點，求過P、A、B截面的面積最小值。

[分析] 用α表示截面與底面ABC所形成的二面角中的平面角，△PAB的面積隨著α的變化而變化，因此可以將△PAB的面積看作是角變量α的三角函數。首先需要在圖1中做出角α。

設△ABC的中心為Q，連結并延長CQ與AB相交于M，則CM⊥AB，∠VCM為60°；又因為VQ⊥AB，所以AB⊥平面VMC。連結PM，則PM⊥AB，所以∠PMC為α。在△PMC中，由正弦定理可得 = ，化簡可得PM= 。所以 = ≥ 。

當且僅當sin（60°+α）=1，即α= 30°時，△PAB的面積取得最小值 。

3、二次函數和空間距離

由空間距離的概念可以得出，任何一種形式的空間距離，其實質上都可以歸結于點和點之間的距離，而且空間距離自身也具有確定性和最小性。其中，最小性指的就是在某個特定的位置上，兩個連續運動的點之間距離的最小值。因此可以利用函數方程的思想，來解決空間距離范圍或者最值的問題。先建立含有所求量的二次函數方程，然后運用其函數性質求得問題的最終答案。

例3 如圖2所示，平面α與平面β相互垂直，兩平面相交于直線l，點A、B都在直線l上且AB=6；射線BQ屬于平面β，射線AP屬于平面α，點S為射線AP上的一個動點，∠PAB=arc sin 。求動點在何處時，點S與射線BQ之間的距離最小？

[分析] 動點S與BQ之間距離的最小值，可以看作是點S與射線BQ上的點D兩點之間的最小距離，即SD的最小值。因此需要首先建立AS與SD之間的函數關系。如圖作SC垂直于AB于點C，由題意可得SC垂直于平面β；再過點C作CD垂直于BQ于點D，連結SD，則SD垂直于BQ，即SD為點S到BQ之間的距離。

設AS=a，因為∠PAB=arc sin ，所以SC= a，AC= a；BC=6- a；又因為∠ABQ= arc sin ，所以CD= ，SD?= + （a-1）?。

因此，當a=1時，SD取得最小值 。即AS=1時，點S到BQ 之間的距離最小。

4、圖形運動和函數方程思想

函數思想是客觀事物的運動及其規律在數學學科上的反映。立體幾何中的幾何圖形處于靜止的狀態，對其進行適當的動態變化，就可以簡化使上接第87頁

用常規處理方法時帶來的復雜過程，有助于促進相關問題的有效解決。此外，對于那些自身就含有變化因素的問題來說，如果能夠利用“圖形變化”來更加直觀地表示其變化過程，就可以一針見血地突破問題關鍵，更加快速有效地解決問題。

例4 同例2

[分析] 例2中，是根據函數的有界性確定了S的最小值，在此利用函數方程思想來解答。

點P作為VC上的動點，平面PAB可以繞著AB轉動，取AB的中點M，M為定點，所以當PM垂直于VC時，PM最短。因為PM是等腰△PAB的高，BC為定值x，所以當PM垂直于VC的時候，△PAB的面積最小。又因為∠PCM=60°，所以∠PMC=30°，PM= x，△PAB面積的最小值為 x?。

5、組合體相關問題和函數思想

立體幾何中的組合體體積、表面積的范圍或者最值問題，其中不僅含有距離參變量，也含有角參變量，因此這些問題都能夠化為一般的函數問題來解決。首先根據題目中的條件得出范圍變量（y）的基本量（ 、 、……）。比如在計算棱錐體積的公式V= sh中，s和h就是兩個基本量，依據題設條件把基本量都表示為變量x的函數，然后運用方程思想求得目標函數y=f（x）。最后再利用f（x）的性質與x的范圍將問題完全解決。因為f（x）通常為一般函數，所以此方法也稱為一般函數法。

例5 如圖3，四邊形ABCD為直角梯形，其中AB垂直于BC，AD=AB=a，BA=3a，E是BC上 的一個動點，沿DE把A-DE-C折為直二面角，求 的最大值。

[分析] 作CF垂直于DE于點F，由題意可得CF就是四棱錐的高。

作DH垂直于BC于點H，設∠DEC=β，則EH=a·|ctgβ|，CF=sinβ（a·ctgβ+2a）， =- a?ctgβ+a?。則 = （5 - ）。

當點E重合于點B 時，β的最小值為 ；當點E重合于點C時，β的最小值為Π-arc sin ，所以β的范圍是（ ，Π-arc sin ）。

當β的范圍是（ ， ）時，5 是增函數，所以當β= 時，V的值最大；當β的范圍是（ ，Π-arc sin ）時，同理可得，當β= 時，V的值最大。

綜上，當β= 時，V的值最大，最大值為 。

參考文獻：

[1] 沈輝，立體幾何中的函數方程思想[J]，《高中生學習·高三版》，2016.

[2] 鄒麗麗，函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J]，《高中數理化》，2014.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）