小學數學“基本思想”摭談

曹益先

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《新課標》）中數學課程總目標的首條是：通過義務教育階段數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，即獲得“四基”。作為“四基”之一的數學基本思想，在《新課標》實施建議中指出：“感悟數學思想，積累數學活動經驗”。為此，筆者仔細研讀《新課標》，分析新版教材，結合教學實際，淺談對小學數學基本思想的認識和分析。

一、對數學基本思想的認識

數學基本思想是指對數學及其對象、數學概念和數學結構以及數學方法的本質性認識。數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、結構、數形結合、隨機……等。

1.數學基本思想和數學方法的區別與聯系。

數學基本思想表現相對宏觀，體現的是對數學對象的一種本質性認識；而數學方法受數學思想的制約，表現相對具體，具有程序性、步驟性、路徑性和可操作性。例如歸納，從一般意義上講，它表現為從特殊到一般的推理思想，但若具體用于一個具體命題結論的獲得時，就是歸納法。

2.數學基本思想是數學的本質

早在近代科學的黎明時期，德國數學家萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）就指出：數學的本質不在于它的對象，而在于它的思想方法。

一方面，縱觀數學發展史，每一項重大的成果，無一不是首先在思想方法上得到突破和創新。如：笛卡爾的“坐標法”思想、伽羅華的“群論”思想、羅氏和黎氏的“非歐幾何”思想等都證明了這一點。另一方面，無數事實也說明：一個人數學學習的優劣和數學才能的大小，往往不在于數學知識累積的多寡，而在于數學思想和方法的素養是否達到一定程度；一個人完成學業進入社會后，如果不是在與數學相關的領域工作，他學過的具體的數學定理和公式可能大多都用不到，若干年以后就漸漸忘記了，而學習數學知識的同時獲得的數學思想，卻一定會終生受益。

德國諾貝爾獎獲得者、物理學家馮·勞厄：“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”。也有學者通俗地把“數學思想”說成“將具體的數學知識都忘掉以后剩下的東西”。可見，數學課堂教學應該是有思想的教學，有了思想才有了課堂的生命。

因此，數學基本思想是數學的本質，是數學課堂的生命。

二、基本思想在數學課程中的應用

《新課標》所提出的“數學基本思想”主要包括數學抽象的思想、數學推理的思想和數學建模的思想。以及演變、派生、發展出來的思想。如“數學建模的思想”派生出來的有：簡化的思想、量化的思想、函數的思想、方程的思想、優化的思想、隨機的思想、抽樣統計的思想等等，這些思想廣泛應用于數學課程中。如“抽象思想”和“推理思想”。

1.抽象思想。

抽象思想在數學課程內容中無處不在。所有概念、原理、公式、關系、結論都是數學抽象的結果。課程內容發生、發展的主線常靠不斷的抽象來形成。如：義務教育階段“數與代數”的課程內容。該部分內容的主線是：從數及數的運算到代數式及其運算，再到方程和解方程、函數……。在數的認識中，從數量抽象出數，并對數進行擴充；在數的運算中，從整數、小數、分數的四則運算到有理數的運算，乘方和開方運算等。體現了表示方法的抽象和運算的逐步抽象兩個方面。在學生學習的過程中，這條主線的各部分，總體上不是線性排列和割裂的。

數學抽象思想派生出的有很多。如：分類的思想、數形結合的思想、對稱的思想等等，它們都廣泛應用到數學課程中。譬如“分類的思想”，《新課標》指出：“分類是一種重要的數學思想。”學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類、圖形的分類、代數式的分類、函數的分類等。在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質，如何區別不同對象的不同性質。

2.推理思想

《新課標》指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。

數學推理模式主要有合情推理與演繹推理兩類。演繹推理主要用于中學的邏輯證明（這里不作分析）。合情推理常用于獲得數學猜想，在數學發展中起著重要作用，在義務教育數學課程中有著廣泛的運用。

合情推理主要指不完全歸納推理、類比推理等或然性的推理，其結論不一定成立。譬如“歸納推理”，它是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理方法，是特殊到一般的方法。在小學教材中許多結論都是通過歸納推理得到的。如：數的交換律、結合律、分配率，分數的基本性質，圓的面積公式等等。再如“類比推理”，它是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它們在另一屬性也相同或相似的一種推理方法，是從特殊到特殊的推理。在小學教材中通過類比推理得到結論的也有許多。如比的基本性質：教材中由學生回憶商不變的性質和分數的基本性質，通過比與除法、比與分數關系的類比，探討出比的基本性質。

數學推理思想派生出的也很多。如：轉換化歸的思想、代換的思想、逐步逼近的思想等等，它們都廣泛應用到數學課程中。譬如“轉換化歸的思想”，它是數學活動中廣泛采用的最具有思維特色的思想方法，已成為多種數學方法的指導思想和原則。如計算小數乘小數1.2×0.6，先將1.2擴大10倍得12，0.6擴大10倍得6，再計算12×6=72，最后將72縮小100倍得0.72，從而算出1.2×0.6=0.72

三、基本思想在數學核心概念中的滲透

《新課標》提出了10個核心概念：數感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數據分析觀念、應用意識、創新意識。從本質上看，數學基本思想滲透在10個核心概念中。如：基本思想在“數感”、“運算能力”中的滲透。

1.數感。《新課標》指出：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”數感的建立是逐步從感性認識到理性認識發展的過程。這一過程離不開對數學基本思想（如抽象思想、推理思想）的感悟，建立在思想之上的數感才能發展成為更為良好的數感品質。

2.運算能力

《新課標》指出：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

運算能力并非一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。其本質仍然是思想方法的要求。

綜上所述。數學基本思想是數學的本質，是課堂的生命。數學課程中處處有數學基本思想，數學基本思想滲透到數學課程的每個核心概念之中。教師在運用《新課標》新教材教學時，要善于挖掘教材中的思想要素，以適當的方式使學生感悟和注意教材中蘊含的數學基本思想，融數學基本思想的教學于數學知識內容的教學之中，精心設計有利于學生感悟數學思想的數學活動，在問題解決中突出數學基本思想，重視數學基本思想對內容的貫通性、統領性。真正落實數學課程的核心理念：“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。